쌍곡선 접선의 방정식_곡선 밖의 한 점이 주어진 경우_난이도 중

좌표평면 위의 점 $(-1, \;0)$ 에서 쌍곡선 $x^2 - y^2 =2$ 에 그은 접선의 방정식을 $y=mx+n$ 이라 할 때, $m^2 +n^2$ 의 값은? (단, $m, \; n$ 은 상수이다.)

① $\dfrac{5}{2}$          ② $3$          ③ $\dfrac{7}{2}$          ④ $4$          ⑤ $\dfrac{9}{2}$

정답 $4$

쌍곡선 $x^2 - y^2=2$ 에 접하면서 기울기가 $m$ 인 접선의 방정식은 $y=mx \pm \sqrt{2m^2-2}$ 가 된다. 이 직선이 점 $(-1, \;0)$ 을 지나야 하므로 $m=\pm \sqrt{2m^2-2}$  양변을 제곱하면 $m^2=2m^2-2$ 따라서 $m^2=2$ 가 된다.

또한 $n=\pm \sqrt{2m^2-2}$ 이므로 $n^2=2$ 가 된다.

$\therefore m^2 + n^2 = 4$