수학1_수열의 극한_무한대/무한대 꼴_난이도 상

한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형과 한 변의 길이가 $1$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. [그림 1]과 같이 정사각형 둘레를 따라 시계 방향으로 정삼각형 $\rm ABC$ 를 회전시킨다. 정삼각형 $\rm ABC$ 가 처음 위치에서 출발한 후 정사각형 둘레를 $n$ 바퀴 도는 동안, 변 $\rm BC$ 가 정사각형의 변 위에 놓이는 횟수를 $a_n$ 이라 하자. 예를 들어, $n=1$ 일 때, [그림 2]와 같이 변 $\rm BC$ 가 $2$ 회 놓이므로 $a_1 =2$ 이다. 이때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{3n-2}}{n}$ 의 값은?

 

 

① $8$          ② $10$          ③ $12$          ④ $14$          ⑤ $16$

 

 

정답 ①

 

보충설명

삼각형은 3번 움직여야 1회전을 하게 됩니다. 또한 삼각형이 정사각형 둘레를 한 바퀴 돌려면 8번을 움직여야 하죠. 3과 8은 서로소이기 때문에 삼각형이 24번 움직여야 처음과 똑같은 상태로 삼각형이 놓이게 된다는 것을 알 수 있습니다. (3과 8의 최소공배수가 24이기 때문이죠) 즉, 삼각형이 정사각형 둘레를 3바퀴 돌아야 처음과 같은 상태가 된다는 뜻입니다. 그래서 3바퀴가 한 주기가 된다고 할 수 있습니다.