행렬과 그래프_역행렬_난이도 상

다음은 이차정사각행렬 \(A\) 와 서로 다른 수 실수 \(p,\;q\) 에 대하여 \(A-pE\) 와 \(A-qE\) 가 모두 역행렬을 갖지 않으면 \(A^2 -(p+q)A+pqE=O\) 임을 증명한 것이다. (단, \(E\) 는 단위행렬이고, \(O\) 는 영행렬이다.)

\(B=A- \dfrac{p+q}{2}E,\;\; K= \; (가) \;\) 라 하면

\(B-kE=A-pE\) 이고 \(B+kE=A-qE\) 이므로

\(B-kE\) 와 \(B+kE\) 는 모두 역행렬을 갖지 않는다.

따라서 \(  B= \left ( \matrix{a & b \\ c & d} \right ) \) 라 하면, \(k \ne 0\) 이므로

\(a+d=(나)\) 이고, \(ad-bc=-k^2\) 이다.

그런데 \(B^{-1} = \dfrac{1}{k^2} \;(다)\) 이므로

\(A^2 -(p+q)A + pqE= (A-pE)(A-qE)=O\) 가 성립한다. 

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	(가)	(나)	(다)
①	\( \dfrac{p-q}{2}\)	\(0\)	\(-B\)
②	\( \dfrac{p+q}{2}\)	\(0\)	\(-B\)
③	\( \dfrac{p-q}{2}\)	\(0\)	\(B\)
④	\( \dfrac{p+q}{2}\)	\(1\)	\(-B\)
⑤	\( \dfrac{p-q}{2}\)	\(1\)	\(B\)

정답 ③