수학1_여러 가지 수열_괄호채우기_난이도 중

자연수 $n$ 에 대하여 $a_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n}$ 로 정의한다. 다음은 $2$ 이상인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 등식

    $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} = n(a_n -1)$

이 성립함을 증명한 것이다.

(1) $n=2$ 일 때, $(좌변)=(우변)=(가)$ 이므로 주어진 등식은 성립한다.

(2) $n=k$ 일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

    $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{k-1} = k(a_k -1 )$

  양변에 $a_k$ 를 더하면

    $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_k = (나)$

  그런데 $a_k = a_{k+1} - (다)$ 이므로

    $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_k = (k+1)(a_{k+1}-1)$

    그러므로 $n=k+1$ 일 때도 성립한다.

    따라서 $2$ 이상인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

 

위 증명에서 $(가), \; (나), \; (다)$ 에 알맞은 것은?

 

 

	$(가)$	$(나)$	$(다)$
①	$1$	$k a_{k+1} -k$	$\dfrac{1}{k}$
②	$1$	$(k+1)a_k -k$	$\dfrac{1}{k+1}$
③	$1$	$(k+1)a_k -k$	$\dfrac{1}{k}$
④	$\dfrac{3}{2}$	$ka_{k+1} -k$	$\dfrac{1}{k+1}$
⑤	$\dfrac{3}{2}$	$(k+1)a_k -k$	$\dfrac{1}{k+1}$

 

 

 

정답 ②