수학1_수학적 귀납법_괄호채우기_난이도 중

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 부등식

    $1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n} \geq 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2 } + \dfrac{1}{2\cdot 3 } + \cdots + \dfrac {1}{n(n+1)} \right\}$

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.

 

(i) $n=1$ 일 때,  $(좌변)=1 \geq 2 \times \dfrac {1}{1 \cdot 2 } = (우변)$ 이므로 주어진 부등식은 성립한다.

(ii) $n=k \; (k \geq 1 )$ 일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면

$1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{k} \geq 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2 } + \dfrac{1}{2\cdot 3 } + \cdots + \dfrac {1}{k(k+1)} \right\}$

이 식의 양변에 $\dfrac{1}{k+1}$ 을 더하면

$1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k+1}$

$\geq 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2 } + \dfrac{1}{2\cdot 3 } + \cdots + \dfrac {1}{k(k+1)} \right\} + \dfrac{1}{k+1}$

$\geq 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2 } + \dfrac{1}{2 \cdot 3 } + \cdots + \dfrac {1}{k(k+1)} \right\} + \dfrac{1}{k+2}$

$= 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2 } + \dfrac{1}{2 \cdot 3 } + \cdots + \dfrac {1}{k(k+1)} \right\} + \dfrac{1}{k+1} \cdot (가)$

$\geq 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 } + \cdots + \dfrac{1}{k(k+1)} \right\} + \dfrac{(나)}{(k+1)(k+2)}$

$= 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2 } + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)} \right\}$

$\therefore 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{k+1}$

$\geq 2 \left\{ \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)} \right\}$

따라서 $n=k+1$ 일 때도 주어진 부등식은 성립한다.

(i), (ii)에 의해서 주어진 부등식은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 성립한다.

 

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 내용을 바르게 짝지은 것은?

① $\dfrac{1}{k+1} , \; 1$          ② $\dfrac{1}{k+1}, \; 2$          ③ $\dfrac{1}{k+2} , \; 1$

 

④  $\dfrac{k+1}{k+2} , \; 1$          ⑤ $\dfrac{k+1}{k+2} , \; 2$

 

 

정답 ⑤