수학1_여러 가지 수열_합과 일반항과의 관계_난이도 상

모든 항이 양수인 수열 $\{a_n \}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{6S_k}{a_k +3}=S_n \; (n \ge 1)$ 이 성립한다. 다음은 수열 $\{a_n \}$ 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다.

 

  주어진 식에 $n=1$ 을 대입하면

  $S_1 >0$ 이므로 $a_1 = \;\;(가) \;\;$ 이다.

  $a_n = \sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{6S_k}{a_k +2} - \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{6S_k}{a_k +3} = \dfrac{6S_n}{a_n +3} \;(n \ge 2)$ 이고 $a_1 = \dfrac{6S_1}{a_1 +3}$ 이므로

  $(나) \cdot S_n =a_n ^2 +\;(가)\cdot a_n (a \ge 1 )$ 이다.

  한편, $6 (S_{n+1} - S_n ) = a_{n+1} ^2 + 3a_{n+1} - \left ( a_n ^2 +3a_n \right )$ 이므로

       $6a_{n+1} = a_{n+1} ^2 - a_n ^2 +3 a_{n+1} - 3a_n$

                 $\vdots$

  따라서 $a_n = \; (다)$

 

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 $p,\;q$ 라 하고, (다)에 알맞은 식을 $f(n)$ 이라 할 때, $p+q+f(10)$ 의 값은?

 

① $36$          ② $39$          ③ $42$          ④ $45$          ⑤ $48$

 

정답 ②