수학1_여러 가지 수열_합과 일반항과의 관계_난이도 상

모든 항이 양수인 수열 \(\{a_n \}\) 의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \[\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{6S_k}{a_k +3}=S_n \; (n \ge 1)\] 이 성립한다. 다음은 수열 \(\{a_n \}\) 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다.

 

  주어진 식에 \(n=1\) 을 대입하면

  \(S_1 >0 \) 이므로 \(a_1 = \;\;(가) \;\; \) 이다.

  \(a_n = \sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{6S_k}{a_k +2} - \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{6S_k}{a_k +3} = \dfrac{6S_n}{a_n +3} \;(n \ge 2) \) 이고 \(a_1 = \dfrac{6S_1}{a_1 +3}\) 이므로

  \((나) \cdot S_n =a_n ^2 +\;(가)\cdot a_n (a \ge 1 )\) 이다.

  한편, \(6 (S_{n+1} - S_n ) = a_{n+1} ^2 + 3a_{n+1} - \left ( a_n ^2 +3a_n \right )\) 이므로

       \(6a_{n+1} = a_{n+1} ^2 - a_n ^2 +3 a_{n+1} - 3a_n\)

                 \(\vdots\)

  따라서 \(a_n = \; (다)\)

 

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 \(p,\;q\) 라 하고, (다)에 알맞은 식을 \(f(n)\) 이라 할 때, \(p+q+f(10)\) 의 값은?

 

① \(36\)          ② \(39\)          ③ \(42\)          ④ \(45\)          ⑤ \(48\)

 

정답 ②