수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 반지름의 길이가 $2\sqrt{3}$ 이고 $\angle {\rm A}_1 {\rm O}{\rm B}_1 = 60 ^o$ 인 부채꼴 $\rm A_1 O B_1$ 이 있다.
세 점 $\rm A_1 ,\;O,\;B_1$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm A_1 OB_1$ 의 무게중심을 $\rm C_1$ 이라 할 때, 두 선분 $\rm A_1 C_1 ,\;B_1 C_1$ 과 호 $\rm A_1 B_1$ 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_1$ 이라 하자.
점 $\rm O$ 를 중심으로 하고 점 $\rm C_1$ 을 지나는 원이 두 선분 $\rm OA_1 ,\; OB_1$ 과 만나는 점을 각각 $\rm A_2 , \; B_2$ 라 하자. 세 점 $\rm A_2 ,\; O,\;B_2$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm A_2 OB_2$ 의 무게중심을 $\rm C_2$ 라 할 때, 두 선 분 $\rm A_2 C_2 ,\; B_2 C_2$ 와 호 $\rm A_2 B_2$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_2$ 라 하자.
점 $\rm O$ 를 중심으로 하고 점 $\rm C_2$ 을 지나는 원이 두 선분 $\rm OA_2 ,\; OB_2$ 과 만나는 점을 각각 $\rm A_3 , \; B_3$ 라 하자. 세 점 $\rm A_3 ,\; O,\;B_3$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm A_3 OB_3$ 의 무게중심을 $\rm C_3$ 라 할 때, 두 선 분 $\rm A_3 C_3 ,\; B_3 C_3$ 와 호 $\rm A_3 B_3$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_3$ 라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 도형의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n$ 의 값은?

 

① $2\pi - \sqrt{3}$            ② $2\pi - 2\sqrt{3}$          ③ $2\pi - 3\sqrt{3}$          
④ $3\pi - 3\sqrt{3}$          ⑤ $3\pi - 4\sqrt{3}$      

정답 ④