수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

넓이가 $1,\;3,\;9,\;27,\; \cdots$ 인 등비수열을 이루는 정사각형들을 그림과 같이 왼쪽부터 차례로 배열하고, 각 정사각형의 내부에 정사각형과 한 변을 공유하는 정삼각형을 그린다.

 

 정삼각형의 외부와 정사각형의 내부의 공통부분(어두운 부분)의 넓이를 왼쪽부터 차례로 $a_1 ,\; a_2 ,\; a_3 ,\; \cdots$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{8 \left(a_1 +a_2 + \cdots + a_n \right )}{3^n}$ 의 값은?
 
① $2-\sqrt{3}$          ② $3-\sqrt{3}$          ③ $4-\sqrt{3}$          ④ $\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}$          ⑤ $\dfrac{4-\sqrt{3}}{2}$ 

정답 ③