수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

반지름의 길이가 $1$ 인 원 $\rm O$ 가 있다. 원 $\rm O$ 의 중심에서 서로 외접하고 원 $\rm O$ 에 내접하는 두 원 $A_1 ,\; A'_1$ 을 그린 후  두 원 $A_1$ 과 $A'_1$ 에 외접하며 원 $\rm O$ 에 내접하는 두 원 $B_1, \; B'_1$ 을 그려서 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 새로 그려진 네 원 $A_1 , \; A'_1 ,\; B_1 ,\; B'_1$ 의 내부에 그림 $R_1$ 의 제작과정을 반복하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻어진 그림을 $R_n$ 이라 하자. 또한 그림 $R_1 ,\;R_2 ,\; \cdots ,\; R_n ,\; \cdots$ 각각에 아래와 같이 어둡게 색칠을 하자. 그림 $R_n$ 의 어두운 부분의 넓이의 합을 $S_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n$ 의 값은?

 

① $\pi$           ② $\dfrac{9}{5} \pi$           ③ $\dfrac{13}{5} \pi$          ④ $\dfrac{17}{5} \pi$           ⑤ $\dfrac{21}{5} \pi$

정답 ③