수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 가 있다. 그림과 같이 정사각형 $\rm ABCD$ 안에 두 점 $\rm A, \; B$ 를 각각 중심으로 하고 변 $\rm AB$ 를 반지름으로 하는 $2$ 개의 사분원을 그린다. 이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을 $\rm A_1 B_1 C_1 D_1$ 이라 하자. 정사각형 $\rm A_1 B_1 C_1 D_1$ 안에 두 점 $\rm A_1 , \; B_1$ 을 각각 중심으로 하고 변 $\rm A_1 B_1$ 을 반지름으로 하는 $2$ 개의 사분원을 그린다. 이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을 $\rm A_2 B_2 C_2 D_2$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 정사각형 $\rm A_{\it n} B_{\it n} C_{\it n} D_{\it n}$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n$ 의 값은?

 

① $\dfrac{3}{8}$          ② $\dfrac{9}{16}$          ③ $\dfrac{4}{5}$          ④ $\dfrac{9}{8}$          ⑤ $\dfrac{23}{16}$

정답 ②