수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

그림과 같이 원점 $\rm O$ 와 점 $(2,\;0)$ 을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $\rm C_1$ 이라 하자. 또, 원 $\rm C_1$ 과 직선 $y=x$ 가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $\rm C_2$, 원 $\rm C_2$ 와 $y$ 축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $\rm C_3$ 이라 하자. 또, 원 $\rm C_3$ 과 직선 $y=-x$ 가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $\rm C_4$, 원 $\rm C_4$ 와 $x$ 축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 $\rm C_5$ 라 하자.

 

 이와 같은 방법으로 중심이 차례로 직선 $y=x$, $y$ 축, 직선 $y=-x$, $x$ 축, $\cdots$ 위에 있는 원 $\rm C_6 , \; C_7 , \; C_8 ,\; C_9 , \; \cdots$ 를 한없이 만들어 갈 때, 원 $\rm C_{\it n}$ 의 내부와 원 ${\rm C}_{n+1}$ 의 외부의 공통부분(어두운 부분)의 넓이를 $S_n \;\; (n=1,\;2,\;3,\;\cdots)$ 이라 하자. 이때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n$ 의 값은?

① $\pi +1$          ② $\dfrac{3}{2} \pi$          ③ $\dfrac{5}{4} ( \pi +1)$          ④ $\dfrac{3}{2}\pi$          ⑤ $2\pi$

정답 ①