수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형을 넓이가 같은 $4$ 개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 $1$ 인 사분원 $2$ 개의 외부(어두운 부분)를 자라낸 후 남은 도형을 $T_1$ 이라 하자. $T_1$ 에서 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $2$ 개를 각각 넓이가 같은 $4$ 개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 $\dfrac{1}{2}$ 인 사분원 $4$ 개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 $T_2$ 라 하자. $T_2$ 에서 한 변의 길이가 $\dfrac{1}{2}$ 인 정사각형 $4$ 개를 각각 넓이가 같은 $4$ 개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 $\dfrac{1}{4}$ 인 사분원 $8$ 개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 $T_3$ 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 도형을 $T_n$ 이라 하고 그 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

 

① $\dfrac{\pi}{2}$          ② $\dfrac{2}{3} \pi$          ③ $\dfrac{3}{4} \pi$          ④ $\pi$          ⑤$\dfrac{5}{4} \pi$

정답 ④