수학1_수학적 귀납법_괄호채우기_난이도 상

다음은 모든 자여연수 $n$ 에 대하여 $\sum \limits _{k=1}^{n} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots +\dfrac{1}{n} \right ) = \dfrac{n(5n+3)}{4}$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(1) $n=1$ 일 때, (좌변)=$2$, (우변)=$2$ 이므로 주어진 등식은 성립한다.
(2) $n=m$ 일 때 성립한다고 가정하면  $\sum \limits _{k=1}^{m} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots +\dfrac{1}{m} \right ) = \dfrac{m(5m+3)}{4}$이다. $n=m+1$ 일 때 성립함을 보이자.
     $\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{m+1} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} + \cdots + \dfrac{1}{m+1} \right )$
      $=\sum \limits _{k=1}^{m} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} + \cdots + \dfrac{1}{m+1} \right ) + \dfrac{(가)}{m+1}$ 
      $=\sum \limits _{k=1}^{m} (5k-3) \left ( \dfrac{1}{k} +\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2} + \cdots + \dfrac{1}{(나)} \right )$
                                                                     $+ \dfrac{1}{m+1} \sum \limits _{k=1}^{m} (5k-3) + \dfrac{(가)}{m+1}$  
      $=\dfrac{m(5m+3)}{4} + \dfrac{1}{m+1} \sum \limits _{k=1}^{m+1} \left ( \;\;  (다) \;\; \right )$
      $=\dfrac{(m+1)(5m+8)}{4}$
그러므로 $n=m+1$ 일 때도 성립한다.
따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 등식은 성립한다. 

 
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

	(가)	(나)	(다)
①	$5m-3$	$m$	$5k+2$
②	$5m-3$	$m+1$	$5k+2$
③	$5m+2$	$m$	$5k-3$
④	$5m+2$	$m$	$5k+2$
⑤	$5m+2$	$m+1$	$5k-3$

 

정답 ③