수열의 극한_무한대/무한대꼴_난이도 상

자연수 $m$ 에 대하여 크기가 같은 정육면체 모양의 블록이 $1$ 열에 $1$ 개, $2$ 열에 $2$ 개, $3$ 열에 $3$ 개, $\cdots$ , $m$ 열에 $m$ 개 쌓여 있다. 블록의 개수가 짝수인 열이 남아 있지 않을 때까지 다음 시행을 반복한다.

블록의 개수가 짝수인 각 열에 대하여 그 열에 있는 블록의 개수의 $\dfrac{1}{2}$ 만큼의 블록을 그 열에서 들어낸다.

 
블록을 들어내는 시행을 모두 마쳤을 때, $1$ 열부터 $m$ 열까지 남아 있는 블록의 개수의 합을 $f(m)$ 이라 하자. 예를 들어, $f(2)=2,\;\;f(3)=5,\;\;f(4)=6$ 이다.
$\lim \limits _{n \to \infty} \frac{f \left ( 2^{n+1} \right ) - f \left ( 2^n \right )}{f \left (2^{n+2} \right ) } = \frac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)
 

 

정답 19