수학1_등비수열_등비수열의 합_난이도 상

길이가 \(1\) 인 선분 \(\rm AB\) 가 있다. 그림과 같이 선분 \(\rm AB\) 를 \(3\) 등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 \(T_1\) 이라 하자. \(T_1\) 의 선분 중 원래의 선분 \(\rm AB\) 에서 남아 있는 두 선분을 각각 \(3\) 등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 \(T_2\) 라 하자. \(T_2\) 의 선분 중 원래의 선분 \(\rm AB\) 에서 남아 있는 네 선분을 각각 \(3\) 등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 \(T_3\) 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속 반복하여 \(n\) 번째 만든 도형을 \(T_n\) 이라 하고, \(T_n\) 에 있는 모든 선분의 길이의 총합을 \(a_n\) 이라 하자. 이 때, \(a_{20}\) 의 값은?

① \(3 \left \{ 1- \left ( {\displaystyle \frac{1}{3}} \right ) ^{20} \right \} \)          ② \(3 \left \{ 1- \left ( {\displaystyle \frac{1}{3}} \right ) ^{21} \right \} \)
③ \(3 \left \{ 1- \left ( {\displaystyle \frac{2}{3}} \right ) ^{19} \right \} \)          ④ \(3 \left \{ 1- \left ( {\displaystyle \frac{2}{3}} \right ) ^{20} \right \} \)
⑤ \(3 \left \{ 1- \left ( {\displaystyle \frac{2}{3}} \right ) ^{21} \right \} \)          

정답 ⑤