수학1_등비수열_등비수열의 합_난이도 상

길이가 $1$ 인 선분 $\rm AB$ 가 있다. 그림과 같이 선분 $\rm AB$ 를 $3$ 등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 $T_1$ 이라 하자. $T_1$ 의 선분 중 원래의 선분 $\rm AB$ 에서 남아 있는 두 선분을 각각 $3$ 등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 $T_2$ 라 하자. $T_2$ 의 선분 중 원래의 선분 $\rm AB$ 에서 남아 있는 네 선분을 각각 $3$ 등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 $T_3$ 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속 반복하여 $n$ 번째 만든 도형을 $T_n$ 이라 하고, $T_n$ 에 있는 모든 선분의 길이의 총합을 $a_n$ 이라 하자. 이 때, $a_{20}$ 의 값은?

① $3 \left \{ 1- \left ( {\displaystyle \frac{1}{3}} \right ) ^{20} \right \}$          ② $3 \left \{ 1- \left ( {\displaystyle \frac{1}{3}} \right ) ^{21} \right \}$
③ $3 \left \{ 1- \left ( {\displaystyle \frac{2}{3}} \right ) ^{19} \right \}$          ④ $3 \left \{ 1- \left ( {\displaystyle \frac{2}{3}} \right ) ^{20} \right \}$
⑤ $3 \left \{ 1- \left ( {\displaystyle \frac{2}{3}} \right ) ^{21} \right \}$          

정답 ⑤