수악중독

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 가 있다. 변 $\rm CD$ 위의 점 $\rm E$ 에 대하여 선분 $\rm DE$ 를 지름으로 하는 원과 직선 $ \rm BE$ 가 만나는 점 중 $\rm E$ 가 아닌 점을 $\rm F$ 라 하자. $\rm \angle EBC = \theta$ 라 할 때, 점 $\rm E$ 를 포함하지 않는 호 $\rm DF$ 를 이등분하는 점과 선분 $\rm DF$ 의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이를 $r(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to \frac{\pi}{4}-} \dfrac{r(\theta)}{\dfrac{\pi}{4}-\theta}$ 의 값은? (단, $0 < \theta < \..

그림과 같이 원에 내접하고 한 변의 길이가 \(2\sqrt{3}\) 인 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 점 \(\rm B\) 를 포함하지 않는 호 \(\rm AC\) 위의 점 \(\rm P\) 에 대하여 \(\angle \rm PAC = \theta\) 라 하고, 선분 \(\rm PC\) 를 한 변으로 하는 정삼각형에 내접하는 원의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 하자. \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{s(\theta)}{\theta ^2} = a \pi\) 일 때, \(60a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(80\)

그림과 같이 길이가 \(12\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 반원의 호 \(\rm AB\) 위에 \(\angle \rm PAB=\theta \; \left ( 0 < \theta < \dfrac{\pi}{6} \right )\) 인 점 \(\rm P\) 가 있다. \(\angle \rm APQ=3\theta\) 가 되도록 선분 \(\rm AB\) 위의 점 \(\rm Q\) 를 잡을 때, 두 선분 \(\rm PQ, \; QB\) 와 호 \(\rm BP\) 로 둘러싸인 부부의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 하자. \(\lim \limits_{\theta \to +0} \dfrac{S(\theta)}{\theta}\) 의 값을 구하시오. 정답 \(18\)

그림과 같이 곡선 \(y=-x^2+6\) 과 직선 \(y=x\) 가 제1사분면에서 만나는 점을 \(\rm A\) 라 하고, 점 \(\rm A\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \(\rm B\) 라 하자. 직선 \(y=x\) 위의 점 \({\rm P}(a, \;a)\) 에서 선분 \(\rm AB\) 에 내린 수선을 발을 \(\rm Q\) 라 하고, 점 \(\rm P\) 를 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선이 곡선 \(y=-x^2+6\) 과 만나는 점을 \(\rm R\) 라 할 때, \(\lim \limits_{a \to 2-0} \dfrac{\overline{\rm PQ}}{\overline{\rm PR}}\) 의 값은? (단, \(0

곡선 \(y=e^x\) 위를 움직이는 점 \({\rm P}\left ( t, \; t^2 \right )\) 와 세 점 \({\rm A} (0, \;e), \;{\rm B}(0, \;1),\; {\rm C}(1, \;1)\) 이 있다. \(\triangle {\rm PAB}, \; \triangle {\rm PBC}\) 의 넓이를 각각 \(S_1 ,\; S_2\) 라 할 때, \(\lim \limits_{t \to 0} \dfrac{S_1}{S_2}\) 의 값은? (단, \(e\) 는 자연로그의 밑이다.) ① \(e-2\) ② \(e-1\) ③ \(2e-3\) ④ \(2(e-2)\) ⑤ \(2e-1\) 정답 ②

그림과 같이 \(\overline{\rm AB} = \sqrt{1+\dfrac{1}{x}} , \;\; \overline{\rm BC} = \sqrt{x+\dfrac{1}{x}}\) , \(\overline{\rm CA} = \sqrt{1+x}\) 인 삼각형 \(\rm ABC\) 의 넓이를 \(S(x)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{S(x)}{\sqrt{x}}\) 의 값은? (단, \(x>0\) ) ① \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) ④ \(\dfrac{1}{4}\) ⑤ \(\dfrac{\sqrt{2}}{8}\) 정답 ②

그림과 같이 길이가 \(4\) 인 선분 \(\rm AB\) 를 한 변으로 하고, \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm BC}, \; \angle \rm ACB=\theta\) 인 이등변 삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 선분 \(\rm AB\) 의 연장선 위에 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AD}\) 인 점 \(\rm D\) 를 잡고, \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AP}\) 이고 \(\angle \rm PAB = 2 \theta\) 인 점 \(\rm P\) 를 잡는다. 삼각형 \(\rm BDP\) 의 넓이를 \(S(\theta)\) 라 할 때, \(\lim \limits_{\theta \to +0} \left ( ..

포물선 \(y=x^2\) 위의 두 정점 \({\rm O}(0,\;0),\;\;{\rm A} \left ( t,\;t^2 \right )\) 에 대하여 삼각형 \({\rm OAB}_k \; (k=1,\; 2,\;3)\) 가 이등변삼각형이 되도록 하는 \(y\) 축 위의 점을 \({\rm B}_1 , \; {\rm B}_2 ,\; {\rm B}_3\) 라 하자. 이때, \(\lim \limits_{t \to 0} \left ( \overline{\rm OB_1} + \overline{\rm OB_2} + \overline{\rm OB_3} \right )\)의 값은? (단, \(t\) 와 세 점 \(\rm B_1 , \; B_2 , \; B_3\) 의 \(y\) 좌표는 양수이다.) ① \(0\) ② \(\d..

원 \( x^2 + y^2 = 1 \) 위를 움직이는 제1사분면 위의 점 \( {\rm P } ( \alpha , \; \beta ) \) 를 지나고 \( x \) 축과 평행한 직선을 그어 원과 만나는 다른 점을 \( {\rm Q } , \; x \) 축 위의 한 점을 \( \rm R \) 라 하자. 삼각형 \( \rm PQR \) 의 넓이를 \( S(\alpha)\) 라 할 때, \(\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 1 - 0} \dfrac{{S(\alpha )}}{{\sqrt {1 - \alpha } }}\) 의 값은? ① \(1\) ② \(\sqrt{2}\) ③ \(\sqrt{3}\) ④ \(2\) ⑤ \(\sqrt{5}\) 정답 ②