수악중독

좌표공간에 구 $x^2 +y^2 + z^2 =6$ 이 평면 $x+2z-5=0$ 과 만나서 생기는 원 $C$ 가 있다. 원 $C$ 위의 점 중 $y$ 좌표가 최소인 점을 $\rm P$ 라 하고, 점 $\rm P$ 에서 $xy$ 평면에 내린 수선의 발을 $\rm Q$ 라 하자. 원 $C$ 위를 움직이는 점 $\rm X$ 에 대하여 $\left | \overrightarrow{\rm PX} + \overrightarrow{\rm QX} \right |^2$ 의 최댓값은 $a+b\sqrt{30}$ 이다. $10(a+b)$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$ 는 유리수이다.) 정답 $136$

좌표공간에 원 $C\; :\; x^2+y^2=3, \; z=1$ 과 구 $S\; : \; (x-6)^2 +(y-8)^2 + (z-1)^2 = 9$ 가 있고, 원점 $\rm O$ 와 원 $C$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OP}$ 를 법선벡터로 하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 원 $C$ 의 중심 $\rm A$ 와 구 $S$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 선분 $\rm AQ$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 길이의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값을 구하시오. 정답 $15$

다음 그림과 같이 직사각뿔 $\rm A-BCDE$ 에서 밑면은 $\overline{\rm BC}=8$, $\overline{\rm BE}=6$ 인 직사각형이고, $\overline{\rm AB}=\overline{\rm AC}=\overline{\rm AD}=\overline{\rm AE}=13$ 이다. 삼각형 $\rm ABE$ 를 포함하는 평면과 선분 $\rm AC$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라고 할 때, $\sin \theta = \dfrac{q}{p}\sqrt{10}$ 이라고 한다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $77$그림에서처럼 점 $\rm B$ 를 원점으로 하는 3차원 좌표축을 생각하자. 점 $\rm A$ 에서 $xy$ 평..

좌표공간에서 직선 $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{a} = \dfrac{z+5}{4}$ 에 수직이고, 점 $(1, \;1, \; -2)$ 를 지나는 평면의 방정식을 $2x+5y+bz+c=0$ 이라 할 때, $a+b+c$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b, \; c$는 상수이다.) 정답 $10$

좌표공간에 두 개의 구 \[ S_1 \;:\; x^2+y^2+(z-3)^2=1,\;\;\; S_2 \;:\; x^2+y^2+(z+3)^2=4\] 가 있다. 점 \({\rm P} \left ( \dfrac{1}{2}, \; \dfrac{\sqrt{3}}{6}, \; 0 \right )\) 을 포함하고, \(S_1\) 과 \(S_2\) 에 동시에 접하는 평면을 \(\alpha\) 라 하자. 점 \({\rm Q} \left ( k, \; -\sqrt{3}, \; 2 \right )\) 가 평면 \(\alpha\) 위의 점일 때, \(120k\) 의 값을 구하시오. 정답 \(40\)

좌표공간에 구 \(S\; :\; (x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=12\) 와 평면 \(\alpha \; : \; x+y+z=3\) 가 있다. 평면 \(\alpha\) 위의 직선 \(l\) 에 대하여 \(\rm O\) 와 직선 \(l\) 사이의 거리는 \(2\) 이다. \(l\) 과 구 \(S\) 가 만나는 두 점을 각각 \(\rm A, \;B\) 라 할 때, 삼각형 \(\rm OAB\) 의 넓이는? (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) ① \(3\sqrt{2}\) ② \(3\sqrt{3}\) ③ \(4\) ④ \(4\sqrt{2}\) ⑤ \(4\sqrt{3}\) 정답 ④

좌표공간에서 평면 \(\alpha \;:\; ax+y+bz+c=0\) 이 두 구 \[S_1 \;:\; (x-1)^2+(y-1)^2+(z+1)^2=13\] \[ S_2 \; : \; (x+1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=6\] 와 만날 때, \(\alpha\) 와 \(S_1\) 이 만나서 생기는 원을 \(C_1\) 이라 하고, \(\alpha\) 와 \(S_2\) 가 만나서 생기는 원을 \(C_2\) 라 하자. \(C_1\) 의 반지름이 \(3\) 이고, \(C_1 .\;C_2\) 의 중심이 서로 일치할 때, \(a^2+b^2+c^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b,\;c\) 는 상수이다.) 정답 \(17\)

\(x\) 축을 교선으로 갖는 두 평면이 구 \((x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=4\) 위의 두 점 \(\rm A,\;B\) 에서 접한다. 구의 중심을 \(\rm C,\; \triangle CAB\) 의 넓이를 \(S\) 라 할 때, \(10S\) 의 값을 구하시오. 정답 \(16\) 위의 풀이를 보시면 아시겠지만 이 문제는 yz 평면에 정사영 시켜서 풀어도 됩니다. 즉, y축과 z축으로 이루어진 2차원 평면위에서 생각해도 삼각형 ABC 의 넓이에는 변화가 없음을 이용하는 것이지요. 이렇게 생각한다면 다음과 같은 풀이도 가능하게 됩니다.

두 직선 \(l_1 \;:\; \dfrac{x}{-6} = \dfrac{y-1}{9} = \dfrac{z}{-3},\;\; l_2 \;:\; \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-4}{-3}=z\) 를 포함하는 평면의 방정식을 구하시오. 정답 \(3x-y-9z+1=0\)

좌표공간의 세 평면 \(x-3y+z-2=0\), \(ax-y+2z+3=0\), \(2x+by-z-1=0\) 이 한 직선을 공유하도록 두 상수 \(a,\;b\) 의 값을 정할 때, \(7b-2a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(16\)