수악중독

그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 인 원을 밑면으로 하는 원기둥 모양의 나무막대 $\rm A$ 와 한 변의 길이가 $\sqrt{2}$ 인 정사각형을 밑면으로 하는 사각기둥 모양의 나무막대 $\rm B$ 가 있다.두 나무막대가 중심축이 $30^{\rm o}$ 를 이루며 교차할 때, 두 나무막대의 공통 부분의 부피는 $a\pi +b$ 이다. $ 10a+3b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 유리수이고, 나무막대 $\rm B$ 의 중심축에 수직인 단면의 두 대각선 중 하나는 두 나무막대의 중심축을 포함하는 평면과 수직이며, 다른 하나는 중심축을 포함하는 평면에 포함된다.) 정답 $24$

좌표공간의 \(-1 \le x \le 1\) 인 부분에 입체도형 \(T\) 가 있다. 입체 도형 \(T\) 를 \(x\) 축과 수직인 평면으로 자른 단면은 이 평면이 두 곡선 \(C_1 \;:\; y=1-x^2 ,\;\; z=0\), \(C_2 \;:\; z=1-x^2 ,\;\; y=0\) 및 \(x\) 축과 만나는 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이다. 입체도형 \(T\) 의 부피를 \(\dfrac{n}{m}\) 이라 할 때, \(m+n\) 의 값을 구하시오. (단, \(m,\;n\) 은 서로소인 자연수이다.) 정답 23

\(xyz\) 공간에 있어, 평면 \(z=0\) 위의 중심이 원점이고 반지름 \(2\) 인 원을 밑면으로 하고, 점 \((0,\;0,\;1)\) 을 꼭지점으로 하는 원뿔을 \(\rm A\) 라 하자. 또, 평면 \(z=0\) 위의 점 \((1,\;0,\;0)\) 을 중심으로 하는 반지름 \(1\) 인 원을 \(\rm H\), 평면 \(z=1\) 위의 점 \((1,\;0,\;1)\) 을 중심으로 하는 반지름 \(1\) 인 원을 \(\rm K\) 라 하자. \(\rm H\) 와 \(\rm K\) 를 밑면으로 하는 원기둥을 \(\rm B\) 라 하고, 원뿔 \(\rm A\) 와 원기둥 \(\rm B\) 의 공통부분을 \(\rm C\) 라 하자. \(0 \le t \le 1\) 인 실수 \(t\) 에 대하여, ..