수악중독

함수 $$f(x)=\begin{cases} -x-\pi & (x\pi) \end{cases}$$ 가 있다. 실수 $t$ 에 대하여 부등식 $f(x) \le f(t)$ 를 만족시키는 실수 $x$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하자. 예를 들어, $g(\pi) = -\pi$ 이다. 함수 $g(t)$ 가 $t=\alpha$ 에서 불연속일 때, $$\displaystyle \int_{-\pi}^\alpha g(t) dt = - \dfrac{7}{4} \pi^2 + p \pi + q$$ 이다. $100 \times | p+q |$ 의 값을 구하시오. (단, $p, ~q$ 는 유리수이다.) 정답 $350$

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 와 그 역함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 점 $(3, \; 5)$ 에 대하여 대칭이다.(나) $2 \le x \le 4$ 일 때, $f(x)=\displaystyle \int_x^2 \dfrac{f(6-t)}{t}\; dt + 11 \ln \dfrac{x}{2} + 3$ 이다.(다) $f(5)=10-a $ 를 만족시키는 상수 $a$ 에 대하여 $\displaystyle \int_a^5 \ln g(x) \; dx = 8 \ln 2 + 6 \ln 3 -9$ 이다. $\displaystyle \int_1^4 \dfrac{f(x)}{x} \; dx = p+q \ln 2 $ 일 때, $p^2 + q^2$ 의 ..

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 역함수 $g(x)$ 를 갖고 $$f(1)=2, \;\; f(2)=4, \;\; \displaystyle \int_1^2 f(x) dx = \dfrac{8}{3}$$ 을 만족시킨다. 함수 $f \left ( e^x -1 \right )$ 의 역함수를 $h(x)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_2^4 \dfrac{g'(x)}{h'(x)} dx = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $19$

실수 전체에서 함수 \(f(x)=(x^2+a)e^x\) 의 역함수가 존재하기 위한 상수 \(a\) 의 최소값을 \(m\) 이라 하자. 함수 \(g(x)=\left ( x^2+m \right ) e^x\)의 역함수를 \(h(x)\) 라 할 때, \(\displaystyle \int _{m}^{2e} h(x) dx\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ③

\(x \geq 0\) 에서 정의된 삼차함수 \(f(x)\) 는 \(f(0)=0\) 이고, \(x>0\) 인 모든 실수 \(x\) 에서 \(f'(x) \geq 0\) 을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\) 의 역함수 \(g(x)\) 에 대하여 함수 \(h(x)\) 를 \[h(x)=\displaystyle \int _0 ^x \left \{ f(t)-g(t) \right \} dt \;\; (x \geq 0) \] 이라 하면 \(y=h(x)\) 의 그래프는 그림과 같다. \(h(x)\) 가 \(x=6\) 일 때 극댓값 \(12\) 를 가지고, \(x=10\) 일 때 극솟값 \(4\) 를 가진다고 할 때, \(\displaystyle \int _0 ^{10} g(t) dt\) 의 값은? ① \(40\) ② \..

그림과 같이 함수 \(f(x)=ax^2 +b \;(x\geq 0)\) 의 그래프와 그 역함수 \(g(x)\) 의 그래프가 만나는 두 점의 \(x\) 좌표는 \(1\) 과 \(2\) 이다. \(0\leq x \leq 1\) 에서 두 곡선 \(y=f(x),\; y=g(x)\) 및 \(x\) 축, \(y\) 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A\) 라 하고, \(1\leq x \leq 2\) 에서 두 곡선 \(y=f(x),\; y=g(x)\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(B\) 라 하자. 이때, \(A-B\) 의 값은? (단, \(a, \;b\) 는 상수이다.)① \(\dfrac{1}{9}\) ② \(\dfrac{2}{9}\) ③ \(\dfrac{1}{3}\) ④ \(\dfrac{4}{9}\) ⑤ \(\df..

함수 \(f(x)=x^3 +x-1\) 의 역함수를 \(g(x)\) 라 할 때, \(\displaystyle \int _1 ^9 g(x) dx\) 의 값은?① \(\dfrac{47}{4}\) ② \(\dfrac{49}{4}\) ③ \(\dfrac{51}{4}\) ④ \(\dfrac{53}{4}\) ⑤ \(\dfrac{55}{4}\) 정답 ③

아래 그림은 직선 \(y=x\) 와 다항함수 \(y=f(x)\) 의 그래프의 일부이다. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f'(x)\geq 0\) 이고, \(f(0)=\dfrac{1}{5},\; f(1)=1\) 일 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은?ㄱ. \(f'(x)=\dfrac{4}{5}\) 인 \(x\) 가 열린구간 \((0,\;1)\) 에 존재한다.ㄴ. \(\displaystyle \int_0 ^1 f(x) dx+ \displaystyle \int _\frac{1}{5} ^1 f^{-1} (x) dx =1\) ㄷ. \(g(x)=(f\circ f)(x)\) 일 때, \(g'(x)=1\) 인 \(x\) 가 열린구간 \((0, \;1)\) 에 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ..