수악중독

좌표평면 위에 원 $x^2 + y^2 = 9$ 와 직선 $y=4$ 가 있다. $t \ne -3, \; t \ne 3$ 인 실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=4$ 위의 점 ${\rm P}(t, \; 4)$ 에서 원 $x^2 +y^2 = 9$ 에 그은 두 접선의 기울기의 곱을 $f(t)$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f \left ( \sqrt{2} \right ) = -1$ㄴ. 열린 구간 $(-3, \; 3)$ 에서 $f''(t)

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\dfrac{f(x)}{|x-2|+x}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 의 이계도함수 $g''(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (나) 함수 $g(x)$ 는 $x=5$ 에서 극솟값 $m$ 을 갖는다. (단, $m

좌표평면에서 함수 $f(x)=(\ln x)^2- \ln x$ 에 대하여 원점과 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, \; f(t))$ 를 이은 직선이 이 곡선과 만나는 점의 개수를 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 가 $t=a_1$, $ t=a_2$, $t=a_3$, $t=a_4$, $t=a_5$ $(a_1 < a_2

$x>a$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $g(0)=0$(나) 방정식 $\log_2 g(x) = k$ (단, $k$ 는 자연수) 의 해집합 $\{a, \; b, \; c\}$ 에 대해서 $ac

최고차항의 계수가 $1$ 인 다항함수 $f(x)$ 와 양의 실수 $a$ 에 대하여 $x

이차함수 $f(x)$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$g(x)=\ln\{f(x)\}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x) \ge \ln 2$ 이고, 어떤 실수 $x$ 에 대하여 $g(x) \le \ln 2$ 이다.(나) 방정식 $g'(x)=g' \left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )$ 는 오직 한 개의 실근을 갖는다.(다) 조건 '어떤 실수 $x$ 에 대하여 $g'(x)=k$ 이다.' 가 참이 되도록 하는 실수 $k$ 의 범위는 $-\sqrt{2} \le k \le \sqrt{2}$ 이다. $g(0)$ 의 최댓값을 $M$ 이라고 할 때, $e^M$ 의 값을 구하시오. 정답 $10$

그림과 같이 제1사분면에 있는 점 ${\rm P}(a, \; 2a)$ 에서 곡선 $y=-\dfrac{2}{x}$ 에 그은 두 접선의 접점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 할 때, $\overline{\rm PA}^2 + \overline{\rm PB}^2 + \overline{\rm AB}^2$ 의 최솟값을 구하시오. 정답 $90$

미분가능한 함수 $f(x)$ 와 $f(x)$ 의 역함수 $g(x)$ 가 $g \left ( 3f(x)-\dfrac{2}{e^x+e^{2x}} \right) = x$ 를 만족시킬 때, 다음은 $g' \left ( \dfrac{1}{2} \right )$ 의 값을 구하는 과정이다. $g \left ( 3f(x)-\dfrac{2}{e^x +e^{2x}} \right ) =x$ 에서$3f(x)-\dfrac{2}{e^x+e^{2x}} = g^{-1}(x)$ 이므로 $f(x)=\dfrac{1}{(가)}$이다.$f(x)$ 의 도함수를 구하면 $f'(x)=\dfrac{-e^x-2e^{2x}}{(가)^2}$이다. $f(0)=\dfrac{1}{2}$ 이므로 $g \left (\dfrac{1}{2} \right ) = 0$..

함수 \(f(x)=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x + \cos x -2}\) 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 최솟값은 \(-1-\sqrt{2}\) 이다. ㄴ. \(x=\dfrac{\pi}{4}\) 에서 최댓값을 갖는다. ㄷ. \(x=\dfrac{5}{4}\pi\) 에서 극댓값을 갖는다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

함수 \(f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}\) 의 도함수 \(f'(x)\) 는 \(x=a\) 일 때, 최댓값 \(M\) 을 갖는다. 이때, 상수 \(a\), \(M\) 의 합 \(a+M\) 에 대하여 \(8(a+M)\) 의 값을 구하여라. 정답 \(4\)