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수악중독
\(x^{2006} =1\) 의 \(1\) 이외의 근을 \(\alpha _1 ,\; \alpha _2 , \; \cdots , \; \alpha _{2005}\) 라고 할 때, \[(2+\alpha_1 ) (2+\alpha_2 )(2+\alpha _3 ) \cdots (2+\alpha_{2005} ) \] 의 값을 \(2^{2006} = A\) 를 이용하여 나타내면? ① \(A-1\) ② \(A+1\) ③ \(2A\) ④ \(\dfrac{1-A}{3}\) ⑤ \(\dfrac{A-1}{3}\) 정답 ⑤
그림과 같이 넓이가 \(1\) 인 정삼각형 \(A_0\) 에서 시작하여 도형 \(A_1 , \; A_2 , \; \cdots\) 를 만든다. 여기서 \(A_n\) 은 \(A_{n-1}\) 의 각 변의 \(3\) 등분점을 꼭짓점으로 가지는 정삼각형을 \(A_{n-1}\) 의 바깥쪽에 덧붙인 도형이다. (1) 도형 \(A_n\) 의 변의 개수를 구하시오. (2) 도형 \(A_n\) 의 넓이를 \(S_n\) 이라고 할 때, \(S_n\) 을 구하시오. 정답 (풀이 참조)
다음과 같이 수가 증가하는 컴퓨터 바이러스가 있다. 각 단계마다 각 개체는 다른 개체와는 독립적으로 \(p\) 의 확률로 \(1\) 개, \(1-p\) 의 확률로 \(2\) 개의 새로운 개체를 다음 단계로 남기고 자신은 소멸된다. 예를 들면, 다음은 \(1\) 개체가 제 \(0\) 단계에서 시작하여 제 \(4\) 단계에 바이러스가 \(4\) 개체가 된 경우 중 하나를 나타낸 것이다. 지금 컴퓨터에 침입한 바이러스 \(1\) 개체가 제 \(0\) 단계에서 시작하여 제 \(n\) 단계에 \(m\) 개의 개체일 확률을 \({\rm P}_n (m)\) 이라고 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} {\Large \frac{{\rm P}_n (2)}{p^n}}\) 의 값은? (단, \(0
\((x+2)\left ( x+2^2 \right ) \left ( x+ 2^3 \right ) \cdots \left ( x+ 2^{10} \right ) \) 을 전개한 식에서 \(x^9\) 의 계수를 \(a\), \(x^8\) 의 계수를 \(b\) 라 할 때, \({\dfrac{a}{b}} \left ( 2^{10} -2 \right ) \) 의 값은? ① \(2^{10}\) ② \(2^{10}-2\) ③ \(\dfrac{3}{2}\) ④ \(1\) ⑤ \(\dfrac{2^5}{2^{10} -1} \) 정답 ③
\(100\) 차 다항식 \(p(x)=x^{100} +x^{99} + x^{98} + \cdots + x -2\) 에 대하여 \(g(x)=p \left ( p(x) \right ) \) 의 상수항은? ① \(-2\) ② \({\dfrac{1}{3}} \left ( 2^{100} -4 \right ) \) ③ \({\dfrac{1}{3}} \left ( 2^{100} +4 \right ) \) ④ \({\dfrac{1}{3}} \left ( 2^{101} -8 \right ) \) ⑤ \(2^{100}\) 정답 ④