수악중독

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $t$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^t f(x) dx = \int_{2a-t}^{2a}f(x)dx$ 이다. (나) $\displaystyle \int_a^2 f(x)dx = 2, ~~ \int_a^2|f(x)|dx= \dfrac{22}{9}$ $f(k)=0$ 이고 $k

자연수 $n$ 에 대하여 수열 $\{a_n\}$ 이 $a_1=5, \; 2a_{n+1}=a_n+1$ 을 만족할 때, 수열 $\{b_n\}$ 을 $b_n = 4-a_n$ 으로 정의한다. 수열 $\{b_n\}$ 에 대하여 구간 $[-1, \; 3)$ 에서 정의되고, 열린구간 $(-1, \; 3)$ 에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족한다. (가) $f'(0)=-1, \; f(b_n)=f \left ( \dfrac{b_n+b_{n+1}}{2} \right ) = 0$(나) 구간 $[b_n,\; b_{n+1})$ 에서 함수 $f(x)$ 는 삼차함수의 일부이다. $-1

실수 $t$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=\left \{ \begin{array}{cc} 1-|x-t| & (|x-t|\le 1) \\ 0 & (|x-t|>1) \end{array}\right .$$ 이라 할 때, 어떤 홀수 $k$ 에 대하여 함수 $$g(t)= \displaystyle \int_k^{k+8} f(x) \cos(\pi x)\; dx $$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $g(t)$ 가 $t=\alpha$ 에서 극소이고 $g(\alpha)

두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 $$f(x)=\left \{ \begin{array}{ll} 0 & (x \le 0) \\ x & (x>0) \end{array} \right . , \;\; g(x) = \left \{ \begin{array}{ll} x(2-x) & (|x-1| \le 1) \\0 & (|x-1| > 1) \end{array} \right .$$ 이다. 양의 실수 $k, \; a, \; b \;\;(a

수열 $\{a_n\}$ 이 $$a_1=-1, \;\; a_n=2-\dfrac{1}{2^{n-2}}\;\; (n\ge 2)$$ 이다. 구간 $[-1, \; 2)$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$f(x)=\sin \left ( 2^n \pi x \right ) \;\; (a_n \le x \le a_{n+1})$$ 이다. $-1

좌표평면 위의 점 $\rm P$ 에서 곡선 $y=x^2$ 에 그은 두 접선을 각각 $l_1, \; l_2$ 라 하자. 곡선 $y=x^2$ 과 두 직선 $l_1, \; l_2$ 로 둘러싸인 부분의 넓이가 $18$ 일 때, 점 $\rm P$ 가 나타내는 도형의 방정식을 $y=f(x)$ 라 하자. 두 곡선 $y=x^2, \; y=f(x)$ 와 두 직선 $x=0$, $x=10$ 으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. (단, 점 $\rm P$ 는 곡선 $y=x^2$ 의 아래쪽에 있는 점이다.) 정답 $90$

이 문제는 2017학년도 샤인미 모의고사 1회 30번 문제입니다. 풀이 영상 공유를 허락해 주신 출제자님께 감사드립니다. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(1)=g(1)$ (나) 세 실수 $a, \; b, \; c$ 와 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $0 \le x \le 1$ 일 때, $f(x+n)=g\left (\dfrac{a}{x-b}+cx \right ) +n$ 이다. 연속함수 $f'(x)$ 와 임의의 음이 아닌 두 실수 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $$\{ f'(x_1) - f'(x_2) \}(x_1-x_2) \ge 0$$일 때, $\displaystyle ..

실수 $a$ 와 함수 $f(x)=\ln \left ( x^4+1\right ) -c$ ($c>0$인 상수) 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\; dt$$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 모든 $a$ 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\alpha_1, \;\alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_m$ ($m$ 은 자연수)이다. $a=\alpha_1$ 일 때 함수 $g(x)$ 와 상수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=1$ 에서 극솟값을 갖는다.(나) $\displaystyle \int_{\alpha_1}^{\a..

그림과 같이 $x$ 좌표가 $1, \;2,\;3,\; \cdots, \; n$ 인 $x$ 축 위의 점에서 $y$ 축에 평행한 직선을 그어 곡선 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ 과 만나는 점을 꼭짓점으로 하는 직사각형을 $n$ 개 만든다. 이 직사각형들이 곡선 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ 에 의하여 잘려진 윗부분들의 넓이의 합을 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{n^2+1}=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p^2+q^2$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다) 정답 $17$

$f(1)=1$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=x^2$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(-x)=f(x)$ 이다.(나) $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^n \left \{ f \left ( \dfrac{k}{n} \right ) - g \left ( \dfrac{k}{n} \right ) \right \} = 27$ 두 곡선 $y=f(x)$ 와 $y=g(x)$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. 정답 $54$