도형과 등비급수_난이도 중 (2022년 10월 전국연합 고3 미적분 27번)

 

 

그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=1$,  $\overline{\rm B_1C_1}=2\sqrt{6}$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 이 있다. 중심이 $\rm B_1$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원이 선분 $\rm B_1C_1$ 과 만나는 점을 $\rm E_1$ 이라 하고, 중심이 $\rm D_1$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원이 선분 $\rm A_1B_1$ 과 만나는 점을 $\rm F_1$ 이라 하자. 선분 $\rm B_1D_1$ 이 호 $\rm A_1E_1$, 호 $\rm C_1F_1$ 과 만나는 점을 각각 $\rm B_2$, $\rm D_2$ 라 하고, 두 선분 $\rm B_1B_2$, $\rm D_1D_2$ 의 중점을 각각 $\rm G_1$, $\rm H_1$ 이라 하자.

두 선분 $\rm A_1G_1$, $G_1B_2$ 와 호 $\rm B_2A_1$ 으로 둘러싸인 부분인 

 

모양의 도형과 두 선분 $\rm D_2H_1$ , $\rm H_1F_1$ 과 호 $\rm F_1D_2$ 로 둘러싸인 부분인 

 

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 선분 $\rm B_2D_2$ 가 대각선이고 모든 변이 선분  $\rm A_1B_1$ 또는 선분 $\rm B_1C_1$ 에 평행한 직사각형 $\rm A_2B_2C_2D_2$ 를 그린다. 직사각형 $\rm A_2B_2C_2D_2$ 에 그린 $R_1$ 을 얻은 것과 같은 방법으로 

 

모양의 도형과

모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자. 

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때 $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

 

 

① $\dfrac{25\pi-12\sqrt{6}-5}{64}$          ② $\dfrac{25\pi-12\sqrt{6}-4}{64}$          ③ $\dfrac{25\pi-10\sqrt{6}-6}{64}$

 

④ $\dfrac{25\pi-10\sqrt{6}-5}{64}$          ⑤ $\dfrac{25\pi-10\sqrt{6}-4}{64}$

 

정답 ④