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목록미적분 - 문제풀이 (226)
수악중독
최고차항의 계수가 $3$보다 크고 실수 전체의 집합에서 최솟값이 양수인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=e^x f(x)$$ 이다. 양수 $k$ 에 대하여 집합 $\{x | g(x)=k, \; x\text{는 실수}\}$ 의 모든 원소의 합을 $h(k)$ 라 할 때, 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $h(k)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $h(k)$ 가 $k=t$ 에서 불연속인 $t$ 의 개수는 $1$ 이다. (나) $\lim \limits_{k \to 3e+} h(k) - \lim \limits_{k \to 3e-}h(k)=2$ $g(-6) \times g(2)$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim \limits_{x \to -\infty}x^2e..
최고차항의 계수가 $\dfrac{1}{2}$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 $$g(x)=\begin{cases} \ln |f(x)| & (f(x) \ne 0) \\ 1 & (f(x)=0) \end{cases}$$ 이고 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 $g(x)$ 의 극솟값은? (가) 함수 $g(x)$ 는 $x \ne 1$ 인 모든 실수 $x$ 에서 연속이다. (나) 함수 $g(x)$ 는 $x=2$ 에서 극대이고, 함수 $|g(x)|$ 는 $x=2$ 에서 극소이다. (다) 방정식 $g(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $3$ 이다. ① $\ln \dfrac{13}{27}$ ② $\ln \dfrac{16}{27}$ ③ $\ln \dfrac{19}{27}$ ④ $\ln \dfr..
그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. 호 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에서 선분 $\rm OA$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하고, $\angle \rm OAP$ 를 이등분하는 직선과 세 선분 $\rm HP, \; OP, \; OB$ 의 교점을 각각 $\rm Q, \; R, \; S$ 라 하자. $\angle \rm APH = \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm AQH$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm PSR$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{\theta^3 \times g(\theta)}{f(\t..
양수 $a$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $$f(x)=\dfrac{x^2-ax}{e^x}$$ 이다. 실수 $t$ 에 대하여 $x$ 에 대한 방정식 $$f(x)=f'(t)(x-t)+f(t)$$ 의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$ 라 하자. $g(5)+ \lim \limits_{t \to 5} g(t)=5$ 일 때, $\lim \limits_{t \to k-}g(t) \ne \lim \limits_{t \to k+}g(t)$ 를 만족시키는 모든 실수 $k$ 의 값의 합은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $16$
양수 $a$ 와 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\displaystyle \int_0^x \left \{ f'(t+a) \times f'(t-a) \right \} dt $$가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 $g(x)$ 는 $x=\dfrac{1}{2}$ 와 $x=\dfrac{13}{2}$ 에서만 극값을 갖는다. $f(0)=-\dfrac{1}{2}$ 일 때, $a \times f(1)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $30$
그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=2$, $\overline{\rm B_1C_1}=2\sqrt{3}$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 이 있다. 선분 $\rm A_1D_1$ 을 $1:2$ 로 내분하는 점을 $\rm E_1$ 이라 하고 선분 $\rm B_1C_1$ 을 지름으로 하는 반원의 호 $\rm B_1C_1$ 이 두 선분 $\rm B_1 E_1, \; B_1D_1$ 과 만나는 점 중 점 $ \rm B_1$ 이 아닌 점을 각각 $\rm F_1, \; G_1$ 이라 하자. 세 선분 $\rm F_1E_1, \; E_1D_1, \; D_1G_1$ 과 호 $\rm F_1G_1$ 로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에 선분 $..
그림과 같이 좌표평면 위의 제2사분면에 있는 점 $\rm A$ 를 지나고 기울기가 각각 $m_1, \; m_2 \; (0
함수 $f(x)=a \cos x + x \sin x +b$ 와 $-\pi
자연수 $n$에 대하여 좌표평면 위의 점 $\mathrm{A}_n$을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) $\mathrm{A}_1$은 원점이다. (나) $n$이 홀수이면 $\mathrm{A}_{n+1}$은 점 $\mathrm{A}_n$을 $x$축의 방향으로 $a$ 만큼 평행이동한 점이다. (다) $n$이 짝수이면 $\mathrm{A}_{n+1}$은 점 $\mathrm{A}_n$을 $y$축의 방향으로 $a+1$ 만큼 평행이동한 점이다. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{A}_{2n}}}{n}=\dfrac{\sqrt{34}}{2}$일 때, 양수 $a$의 값은? ① $\dfrac{3}{2}$ ② $\dfrac{7}{4}$ ③ $..
실수 $t$에 대하여 직선 $y=tx-2$가 함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2x^{2n+1}-1}{x^{2n}+1}$$의 그래프와 만나는 점의 개수를 $g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$가 $t=a$에서 불연속인 모든 $a$의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $a_1, \; a_2, \; \cdots, \; a_m$ ($m$은 자연수)라 할 때, $m \times a_m$의 값을 구하시오. 더보기 정답 $28$