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목록미적분 - 문제풀이/적분법 (63)
수악중독
실수 $a\; (0
함수 $f(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 $$\displaystyle \int_1^2 (x-1)f' \left (\dfrac{x}{2} \right ) dx =2$$ 를 만족시킨다. $f(1)=4$ 일 때, $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^1 f(x)dx$ 의 값은? ① $\dfrac{3}{4}$ ② $1$ ③ $\dfrac{5}{4}$ ④ $\dfrac{3}{2}$ ⑤ $\dfrac{7}{4}$ 더보기 정답 ④
실수 $a \; (a \ge 0)$ 에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 의 시각 $t \; (t \ge 0)$ 에서의 속도 $v(t)$ 를 $$v(t)=-t(t-1)(t-a)(t-2a)$$ 라 하자. 점 $\mathrm{P}$ 가 시각 $t=0$ 일 때 출발한 후 운동 방향을 한 번만 바꾸도록 하는 $a$ 에 대하여, 시각 $t=0$ 에서 $t=2$ 까지 점 $\mathrm{P}$ 의 위치의 변화량의 최댓값은? ① $\dfrac{1}{5}$ ② $\dfrac{7}{30}$ ③ $\dfrac{4}{15}$ ④ $\dfrac{3}{10}$ ⑤ $\dfrac{1}{3}$ 더보기 정답 ③
함수 $f(x)$ 에 대하여 $f'(x)=8x^3-1$ 이고 $f(0)=3$ 일 때, $f(2)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $33$ $f(x)= \displaystyle \int f'(x) dx = \int 8x^3-1 dx = 2x^4-x+C$ $f(0)=3$ 이므로 $C=3$ $\therefore f(2)=2^5-2+3=33$
최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\displaystyle \int_0^x f(t) dt $$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(9)$ 의 값을 구하시오. $x \ge 1$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x) \ge g(4)$ 이고 $|g(x)| \ge |g(3)|$ 이다. 더보기 정답 $39$
두 상수 $a, \; b \; (b \ne 1)$ 과 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 도함수 $g'(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (나) $|x| \lt 2$ 일 때, $g(x)=\displaystyle \int_0^x (-t+a) dt$ 이고 $|x| \ge 2$ 일 때, $|g'(x)| = f(x)$ 이다. (다) 함수 $g(x)$ 는 $x=1$, $x=b$ 에서 극값을 갖는다. $g(k)=0$ 을 만족시키는 모든 실수 $k$ 의 값의 합이 $p+q\sqrt{3}$ 일 때, $p \times q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 유리수이다.) 더보기 정답 $32$
최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f(0)=0$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\dfrac{\displaystyle \int_0^x | f'(t) | dt}{x}$$ 라 하자. 함수 $f(x)$ 가 $x=1$ 에서 극대일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\lim \limits_{x \to 0+} g(x) >3$ ㄴ. 함수 $f(x)$ 의 극댓값이 $\dfrac{5}{2}$ 보다 크면 $f(1)-g(2)=1$ 이다. ㄷ. 함수 $f(x)$ 의 극솟값이 $0$ 이면 등식 $g(x)=n \times g(3)$ 을 만족시키는 $0
양수 $t$ 에 대하여 $x=0$ 에서 $x=t$ 까지의 곡선 $y=\dfrac{4}{3}x \sqrt{x}$ 의 길이를 $l(t)$ 라 하자. $l'(\alpha)=3$ 일 때, $l(3\alpha)$ 의 값은? (단, $\alpha$ 는 $\alpha>0$ 인 상수이다.) ① $\dfrac{62}{3}$ ② $\dfrac{64}{3}$ ③ $22$ ④ $\dfrac{68}{3}$ ⑤ $\dfrac{70}{3}$ 더보기 정답 ①
함수 $f(x)= \displaystyle \int_0^x (a-t)e^t dt$ 가 $x=1$ 에서 극값 $b$ 를 가질 때, $a+b$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) ① $e-3$ ② $e-2$ ③ $e-1$ ④ $e$ ⑤ $e+1$ 더보기 정답 ③