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목록기하 - 문제풀이 (176)
수악중독
타원 $\dfrac{x^2}{32}+\dfrac{y^2}{8}=1$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $(a, \; b)$ 에서의 접선이 점 $(8, \; 0)$ 을 지날 때, $a+b$ 의 값은? ① $5$ ② $\dfrac{11}{2}$ ③ $6$ ④ $\dfrac{13}{2}$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ③
좌표평면에서 벡터 $\overrightarrow{u} = (3, \; -1)$ 에 평행한 직선 $l$ 과 직선 $m:\dfrac{x-1}{7}=y-1$ 이 있다. 두 직선 $l, \; m$ 이 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta$ 의 값은? ① $\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$ ② $\dfrac{\sqrt{14}}{5}$ ③ $\dfrac{4}{5}$ ④ $\dfrac{3\sqrt{2}}{5}$ ⑤ $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ 더보기 정답 ⑤
포물선 $y^2=4px\; (p \gt 0)$ 의 초점 $\mathrm{F}$ 를 지나는 직선이 포물선과 서로 다른 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에서 만날 때, 두 점 $\mathrm{A, \; B}$ 에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{C, \; D}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{AC}}:\overline{\mathrm{BD}}=2:1$ 이고 사각형 $\mathrm{ACDB}$ 의 넓이가 $12\sqrt{2}$ 일 때, 선분 $\mathrm{AB}$ 의 길이는? (단, 점 $\mathrm{A}$ 는 제$1$사분면에 있다.) ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ①
공간에 선분 $\mathrm{AB}$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $\mathrm{C}$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{H}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\angle \mathrm{AHB}=\dfrac{\pi}{2}$ (나) $\sin (\angle \mathrm{CAH} = \sin (\angle \mathrm{ABH}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 평면 $\mathrm{ABC}$ 와 평면 $\alpha$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta$ 의 값은? (단, 점 $\mathrm{H}$ 는 선분 $\mathrm..
두 초점이 $\mathrm{F}(c, \; 0), \; \mathrm{F'}(-c, \; 0) \; (c \gt 0)$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 과 점 $\mathrm{A}(0, \; 6)$ 을 중심으로 하고 두 초점을 지나는 원이 있다. 원과 쌍곡선이 만나는 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$ 와 두 직선 $\mathrm{PF', \; AF}$ 가 만나는 점 $\mathrm{Q}$ 가 $$\overline{\mathrm{PF}}:\overline{\mathrm{PF'}}=3:4, \quad \angle \mathrm{F'QF}=\dfrac{\pi}{2}$$ 를 만족시킬 때, $b^2-a^2$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는..
좌표평면 위에 길이가 $6$ 인 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{C, \; D}$ 가 $$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=27, \quad \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=9, \quad \overline{\mathrm{CD}} \gt 3$$ 을 만족시킨다. 선분 $\mathrm{AC}$ 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{P, \; Q}$ 와 상수 $k$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{DP}}-..
공간에 중심이 $\mathrm{O}$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구가 있다. 구 위의 서로 다른 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 가 $$\overline{\mathrm{AB}}=8, \quad \overline{\mathrm{BC}}=2\sqrt{2}$$ 를 만족시킨다. 평면 $\mathrm{ABC}$ 위에 있지 않은 구 위의 점 $\mathrm{D}$ 에서 평면 $\mathrm{ABC}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 할 때, 점 $\mathrm{D}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 직선 $\mathrm{OC, \; OD}$ 가 서로 수직이다. (나) 두 직선 $\mathrm{AD, \; OH}$ 가 서로 수직이다. 삼각형 $\mathrm{DAH}$ ..
한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점 $\mathrm{A, \; B, \; C}$ 에 대하여 $$2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+p \overrightarrow{\mathrm{BC}}=q\overrightarrow{\mathrm{CA}}$$ 일 때, $p-q$ 의 값은? (단, $p$ 와 $q$ 는 실수이다.) ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ④
그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$ 에서 $$\left ( \overrightarrow{\mathrm{AB}}+k \overrightarrow{\mathrm{BC}} \right ) \cdot \left ( \overrightarrow{\mathrm{AC}}+3k \overrightarrow{\mathrm{CD}} \right )=0$$ 일 때, 실수 $k$ 의 값은? ① $1$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{1}{3}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{5}$ 더보기 정답 ②
두 초점이 $\mathrm{F}(12, \; 0), \; \mathrm{F'}(-4, \; 0)$ 이고, 장축의 길이가 $24$ 인 타원 $C$ 가 있다. $\mathrm{\overline{F'F}=\overline{F'P}}$ 인 타원 $C$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{F'P}$ 의 중점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 한 초점이 $\mathrm{F'}$ 인 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=1$ 이 점 $\mathrm{Q}$ 를 지날 때, $\overline{\mathrm{PF}}+a^2+b^2$ 의 값은? (단, $a$ 와 $b$ 는 양수이다.) ① $46$ ② $52$ ③ $58$ ④ $64$ ⑤ $70$ 더보기 정답 ④