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목록기하 - 문제풀이/이차곡선 (101)
수악중독
쌍곡선 $x^2-y^2=1$ 위의 점 $\mathrm{P}(a, \; b)$ 에서의 접선의 기울기가 $2$ 일 때, $ab$ 의 값은? (단, 점 $\mathrm{P}$ 는 제$1$사분면 위의 점이다.) ① $\dfrac{1}{3}$ ② $\dfrac{2}{3}$ ③ $1$ ④ $\dfrac{4}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{3}$ 더보기 정답 ②
그림과 같이 두 점 $\mathrm{F} \left (\sqrt{7}, \; 0 \right )$, $\mathrm{F}\left (-\sqrt{7}, \; 0 \right )$ 을 초점으로 하고 장축의 길이가 $8$ 인 타원이 있다. $\mathrm{\overline{FF'}=\overline{PF'}, \; \overline{FP}=2\sqrt{3}}$ 을 만족시키는 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 점 $\mathrm{F'}$ 을 지나고 선분 $\mathrm{FP}$ 에 수직인 직선이 타원과 만나는 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{Q}$ 라 할 때, 선분 $\mathrm{FQ}$ 의 길이는? (단, 점 $\mathrm{P}$ 는 제$1$사분면 위의 점이다.) ① $2$ ② $\s..
쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{16}=1$ 의 점근선 중 하나의 기울기가 $3$ 일 때, 양수 $a$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{3}$ ② $\dfrac{2}{3}$ ③ $1$ ④ $\dfrac{4}{3}$ ⑤ $\dfrac{5}{3}$ 더보기 정답 ④
초점이 $\mathrm{F}$ 인 포물선 $y^2=4px$ 위의 한 점 $\mathrm{A}$ 에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{B}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{BF}$ 와 포물선이 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BF}}$ 이고 $\overline{\mathrm{BC}}+3\overline{\mathrm{CF}}=6$ 일 때, 양수 $p$ 의 값은? ① $\dfrac{7}{8}$ ② $\dfrac{8}{9}$ ③ $\dfrac{9}{10}$ ④ $\dfrac{10}{11}$ ⑤ $\dfrac{11}{12}$ 더보기 정답 ③
양수 $a$ 에 대하여 기울기가 $\dfrac{1}{2}$ 인 직선이 타원 $\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 과 포물선 $y^2=ax$ 에 동시에 접할 때, 포물선 $y^2=ax$ 의 초점의 $x$ 좌표는? ① $2$ ② $\dfrac{5}{2}$ ③ $3$ ④ $\dfrac{7}{2}$ ⑤ $4$ 더보기 정답 ②
한 초점의 좌표가 $\left (3\sqrt{2}, \; 0\right )$ 인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{6}=1$ 의 주축의 길이는? (단, $a$ 는 양수이다.) ① $3\sqrt{3}$ ② $\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$ ③ $4\sqrt{3}$ ④ $\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ ⑤ $5\sqrt{3}$ 더보기 정답 ③
두 초점이 $\rm F, \; F'$ 인 타원 $\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\rm A$ 가 있다. 두 직선 $\rm AF, \; AF'$ 에 동시에 접하고 중심이 $y$ 축 위에 있는 원 중 중심의 $y$ 좌표가 음수인 것을 $C$ 라 하자. 원 $C$ 의 중심을 $\rm B$ 라 할 때 사각형 $\rm AFBF'$ 의 넓이가 $72$ 이다. 원 $C$ 의 반지름의 길이는? ① $\dfrac{17}{2}$ ② $9$ ③ $\dfrac{19}{2}$ ④ $10$ ⑤ $\dfrac{21}{2}$ 더보기 정답 ②
두 초점의 좌표가 $(0, \; 3), \; (0, -3)$ 인 타원이 $y$ 축과 점 $(0, \; 7)$ 에서 만날 때, 이 타원의 단축의 길이는? ① $4\sqrt{6}$ ② $4\sqrt{7}$ ③ $8\sqrt{2}$ ④ $12$ ⑤ $4\sqrt{10}$ 더보기 정답 ⑤
쌍곡선 $4x^2-8x-y^2-6y-9=0$ 의 점근선 중 기울기가 양수인 직선과 $x$ 축, $y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? ① $\dfrac{19}{4}$ ② $\dfrac{21}{4}$ ③ $\dfrac{23}{4}$ ④ $\dfrac{25}{4}$ ⑤ $\dfrac{27}{4}$ 더보기 정답 ④
그림과 같이 두 초점이 $\rm F, \; F'$ 인 타원 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\rm P$ 에 대하여 세 선분 $\rm PF, \; PF', \; FF'$ 의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 점 $\rm P$ 의 $x$ 좌표는? (단, 점 $\rm F$ 의 $x$ 좌표는 양수이다.) ① $1$ ② $\dfrac{9}{8}$ ③ $\dfrac{5}{4}$ ④ $\dfrac{11}{8}$ ⑤ $\dfrac{3}{2}$ 더보기 정답 ③