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목록기하 - 문제풀이/이차곡선 (101)
수악중독
타원 $\dfrac{x^2}{16} +\dfrac{y^2}{8}=1$ 에 접하고 기울기가 $2$ 인 두 직선이 $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 할 때, 선분 $\rm AB$ 의 길이는? ① $8\sqrt{2}$ ② $12$ ③ $10\sqrt{2}$ ④ $15$ ⑤ $12\sqrt{2}$ 더보기 정답 ⑤
양수 $p$ 에 대하여 두 포물선 $x^2=8(y+2)$, $y^2=4px$ 가 만나는 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\rm P$ 라 하자. 점 $\rm P$ 에서 포물선 $x^2=8(y+2)$ 의 준선에 내린 수선의 발 $\rm H$ 와 포물선 $x^2=8(y+2)$ 의 초점 $\rm F$ 에 대하여 $\overline{\rm PH}+\overline{\rm PF}=40$ 일 때, $p$ 의 값은? ① $\dfrac{16}{3}$ ② $6$ ③ $\dfrac{20}{3}$ ④ $\dfrac{22}{3}$ ⑤ $8$ 더보기 정답 ①
초점이 ${\rm F} \left (\dfrac{1}{3}, \; 0 \right )$ 이고 준선이 $x=-\dfrac{1}{3}$ 인 포물선이 점 $(a, \; 2)$ 를 지날 때, $a$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 더보기 정답 ③
타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(2, \; 1)$ 에서의 접선의 기울기가 $-\dfrac{1}{2}$ 일 때, 이 타원의 두 초점 사이의 거리는? (단, $a, \; b$ 는 양수이다.) ① $2\sqrt{3}$ ② $4$ ③ $2\sqrt{5}$ ④ $2\sqrt{6}$ ⑤ $2\sqrt{7}$ 더보기 정답 ④
두 초점이 ${\rm F}(c, \; 0)$, ${\rm F'}(-c, \; 0)$ $(c>0)$ 인 쌍곡선 $C$ 와 $y$ 축 위의 점 $\rm A$ 가 있다. 쌍곡선 $C$ 가 선분 $\rm AF$ 와 만나는 점을 $\rm P$, 선분 $\rm AF'$ 과 만나는 점을 $\rm P'$ 이라 하자. 직선 $\rm AF$ 는 쌍곡선 $C$ 의 한 점근선과 평행하고 $$\overline{\rm AP}:\overline{\rm PP'}=5:6 \quad \overline{\rm PF}=1$$ 일 때, 쌍곡선 $C$ 의 주축의 길이는? ① $\dfrac{13}{6}$ ② $\dfrac{9}{4}$ ③ $\dfrac{7}{3}$ ④ $\dfrac{29}{12}$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기 정답 ②
두 점 ${\rm F}_1(4, \; 0)$, $\rm F_2(-6, \; 0)$ 에 대하여 포물선 $y^2=16x$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\rm P$ 가 $\overline{\rm PF_2}-\overline{\rm PF_1}=6$ 을 만족시킨다. 포물선 $y^2=16x$ 위의 점 $\rm P$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm F_3$ 이라 하면 두 점 $\rm F_1, \; F_3$ 을 초점으로 하는 타원의 한 꼭짓점은 선분 $\rm PF_3$ 위에 있다. 이 타원의 장축의 길이가 $2a$ 일 때, $a^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $54$
점 $\rm F$ 를 초점으로 하고 직선 $l$ 을 준선으로 하는 포물선이 있다. 포물선 위의 두 점 $\rm A, \; B$ 와 점 $\rm F$ 를 지나는 직선이 직선 $l$ 과 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. 두 점 $\rm A, \; B$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm H, \; I$ 라 하고 점 $\rm B$ 에서 직선 $\rm AH$ 에 내린 수선의 발을 $\rm J$ 라 하자. $\dfrac{\overline{\rm BJ}}{\overline{\rm BI}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$ 이고 $\overline{\rm AB}=8\sqrt{5}$ 일 때, 선분 $\rm HC$ 의 길이는? ① $21\sqrt{3}$ ② $22\sqrt{3}$ ③ $23\..
실수 $p \; (p \ge 1)$ 과 함수 $f(x)=(x+a)^2$ 에 대하여 두 포물선 $$C_1 : y^2=4x, \quad C_2 : (y-3)^2=4p\{x-f(p)\}$$ 가 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\rm A$ 라 하자. 두 포물선 $C_1, \; C_2$ 의 초점을 각각 $\rm F_1, \; F_2$ 라 할 때, $\overline{\rm AF_1}=\overline{\rm AF_2}$ 를 만족시키는 $p$ 가 오직 하나가 되도록 하는 상수 $a$ 의 값은? ① $-\dfrac{3}{4}$ ② $-\dfrac{5}{8}$ ③ $-\dfrac{1}{2}$ ④ $-\dfrac{3}{8}$ ⑤ $-\dfrac{1}{4}$ 더보기 정답 ①
그림과 같이 ${\rm F}(6, \; 0), \; {\rm F'}(-6, \; 0)$ 을 두 초점으로 하는 타원 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 이 있다. 점 ${\rm A} \left (\dfrac{3}{2}, \; 0 \right )$ 에 대하여 $\angle {\rm FPA} = \angle {\rm F'PA}$ 를 만족시키는 타원의 제$1$사분면 위의 점을 $\rm P$ 라 할 때, 점 $\rm F$ 에서 직선 $\rm AP$ 에 내린 수선의 발을 $\rm B$ 라 하자. $\overline{\rm OB}=\sqrt{3}$ 일 때, $a \times b$ 의 값은? (단, $a>0, \; b>0$ 이고 $\rm O$ 는 원점이다.) ① $16$ ② $20$ ③..
좌표평면에서 직선 $y=2x-3$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 가 있다. 두 점 ${\rm A}(c, \; 0)$, ${\rm B}(-c, \; 0)\; (c>0)$ 에 대하여 $\overline{\rm PB}-\overline{\rm PA}$ 의 값이 최대가 되도록 하는 점 $\rm P$ 의 좌표가 $(3, \; 3)$ 일 때, 상수 $c$ 의 값은? ① $\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$ ② $\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$ ③ $3\sqrt{2}$ ④ $\dfrac{9}{2}$ ⑤ $\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$ 더보기 정답 ①