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목록(9차) 미적분 II 문제풀이 (361)
수악중독
구간 $[1, \; 2]$ 에서 연속이고 구간 $(1, \;2)$ 에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대하여 직선 $y=x-t\; \; (0 \le t \le 2)$ 와 곡선 $y=f(x)$ 가 오직 한 점에서 만날 때, 그 점의 $x$ 좌표를 $g(t)$ 라고 하자. 함수 $g(t)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle \int_1^2 f(x) \; dx = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) (가) $g(t)$ 는 구간 $[0, \; 2]$ 에서 연속이면서 증가하고 $g(0)=1, \; g(2)=2$ 이다.(나) $\displaystyle \int_0^2 g(t) \; dt = \dfrac{19}{6..
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 와 그 역함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 점 $(3, \; 5)$ 에 대하여 대칭이다.(나) $2 \le x \le 4$ 일 때, $f(x)=\displaystyle \int_x^2 \dfrac{f(6-t)}{t}\; dt + 11 \ln \dfrac{x}{2} + 3$ 이다.(다) $f(5)=10-a $ 를 만족시키는 상수 $a$ 에 대하여 $\displaystyle \int_a^5 \ln g(x) \; dx = 8 \ln 2 + 6 \ln 3 -9$ 이다. $\displaystyle \int_1^4 \dfrac{f(x)}{x} \; dx = p+q \ln 2 $ 일 때, $p^2 + q^2$ 의 ..
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 의 역함수 $g(x)$ 에 대하여 함수 $h(x)=g\left ( f(x)-4x \right )$ 라 하자. 두 함수 $g(x)$ 와 $h(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $|f(0)|$ 의 값은? (가) $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{g'( x)-1}{x}=0$(나) $x_1 < x_2$ 인 두 실수 $x_1, \; x_2$ 에 대하여 $h(x_1) - h(x_2)$ 가 최대일 때 $x_1x_2=8$ 이다. ① $18$ ② $21$ ③ $24$ ④ $27$ ⑤ $30$ 정답 ⑤
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x \ge 2$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)>0$, $f(x)= \sqrt{2}e^2 + \displaystyle \int_2^x \dfrac{2 \left (t^2-t \right) e^{2t}}{f(t)} dt$ 이다.(나) $x
이차함수 $f(x)$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $$g(x)=\ln\{f(x)\}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x) \ge \ln 2$ 이고, 어떤 실수 $x$ 에 대하여 $g(x) \le \ln 2$ 이다.(나) 방정식 $g'(x)=g' \left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )$ 는 오직 한 개의 실근을 갖는다.(다) 조건 '어떤 실수 $x$ 에 대하여 $g'(x)=k$ 이다.' 가 참이 되도록 하는 실수 $k$ 의 범위는 $-\sqrt{2} \le k \le \sqrt{2}$ 이다. $g(0)$ 의 최댓값을 $M$ 이라고 할 때, $e^M$ 의 값을 구하시오. 정답 $10$
최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=f(x)e^{-f(x)}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 세 집합 $A=\{ t \; | \; f'(t)=0 \}$ $B=\{ t \; | \;$ 함수 $g(x)$ 는 $x=t \; (t -1)$ 에서 극값을 갖는다.$\}$ 에 대하여 $n(A \cap B) = n(A \cap C) = n(B) = n(C)-1$ 이며, 집합 $C$ 의 모든 원소가 자연수이고 그 합은 $5$ 이다. $f(-9)$ 의 값을 구하시오. 정답 $14$
최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 $$F(x) = \ln |f(x)|$$라 하고, 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $g(x)$ 에 대하여 $$G(x) = \ln |g(x) \sin x|$$라 하자.$$\lim \limits_{x \to 1} (x-1) F'(x)=3, \;\; \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{F'(x)}{G'(x)} = \dfrac{1}{4}$$일 때, $f(3)+g(3)$ 의 값은? ① $57$ ② $55$ ③ $53$ ④ $51$ ⑤ $49$ 정답 ④
실수 $a$ 와 함수 $f(x)=\ln \left ( x^4+1\right ) -c$ ($c>0$인 상수) 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\; dt$$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 모든 $a$ 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\alpha_1, \;\alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_m$ ($m$ 은 자연수)이다. $a=\alpha_1$ 일 때 함수 $g(x)$ 와 상수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=1$ 에서 극솟값을 갖는다.(나) $\displaystyle \int_{\alpha_1}^{\a..
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)1$ 인 임의의 실수 $t$ 에 대하여 네 점 $(t, \; 0)$, $(2-t, \; 0)$, $(t, \; f(t))$ , $(2-t, \; f(2-t))$ 를 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이가 $(t-1)e^t$ 이다. $\displaystyle \int_{-1}^3 f(x)\; dx$ 의 값은? ① $e-e^3 \sqrt{e}$ ② $e-e^3$ ③ $ e-e^2 \sqrt{e}$ ④ $e-e^2$ ⑤ $e-e\sqrt{e}$ 정답 ②
열린구간 $\left (- \dfrac{\pi}{2}, \; \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에서 정의된 두 함수 $f(x)=\sin x$, $g(x)=2x^2+4x$ 가 있다. 합성함수 $(g \circ f)(x)$ 의 역함수를 $h(x)$ 라 할 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $h(0)=0$ ㄴ. $h'(0)=\dfrac{1}{4}$ ㄷ. $\lim \limits_{x \to a} \dfrac{h \left ( \cos ^2 3x \right ) -3a}{x-a}$ 의 값이 존재하도록 하는 실수 $a$ 의 개수는 $3$ 이다. ①ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③