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목록(9차) 미적분 II 문제풀이 (361)
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열린 구간 $\left ( 0, \; \dfrac{\pi}{2} \right )$ 에서 정의된 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 이 구간에 속하는 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x)>0$(나) $f(x)=2\sqrt{f(x)}\sin x - \displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^x \dfrac{f'(t) \sin t}{\sqrt{f(t)}} dt$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f \left (\dfrac{\pi}{6} \right ) =1 $ㄴ. $\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} = \cos x$ㄷ. $f \left (\dfrac{\pi}{3} \right ) = \dfrac{2+ \sqrt{3}}{2}$ ① ..
함수 $f(x) = \left \{ \begin{array}{ll}\ln (x+1) & (-1
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 역함수 $g(x)$ 를 갖고 $$f(1)=2, \;\; f(2)=4, \;\; \displaystyle \int_1^2 f(x) dx = \dfrac{8}{3}$$ 을 만족시킨다. 함수 $f \left ( e^x -1 \right )$ 의 역함수를 $h(x)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_2^4 \dfrac{g'(x)}{h'(x)} dx = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $19$
그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 인 원을 밑면으로 하는 원기둥 모양의 나무막대 $\rm A$ 와 한 변의 길이가 $\sqrt{2}$ 인 정사각형을 밑면으로 하는 사각기둥 모양의 나무막대 $\rm B$ 가 있다.두 나무막대가 중심축이 $30^{\rm o}$ 를 이루며 교차할 때, 두 나무막대의 공통 부분의 부피는 $a\pi +b$ 이다. $ 10a+3b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 유리수이고, 나무막대 $\rm B$ 의 중심축에 수직인 단면의 두 대각선 중 하나는 두 나무막대의 중심축을 포함하는 평면과 수직이며, 다른 하나는 중심축을 포함하는 평면에 포함된다.) 정답 $24$
그림과 같이 중심이 ${\rm O_1}(1, \; 0), \; {\rm O_2}(-1, \; 0), \; {\rm O_3}(0, \; 3)$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 세 원을 각각 $C_1, \; C_2, \; C_3$ 이라 하자. 점 $\rm A, \; O, \; B$ 의 좌표는 각각 $(2, \; 0), \; (0, \; 0), \; (0, \; 4)$ 이다. 세 동점 $\rm P, \; Q, \; R$ 의 이동 경로는 다음과 같다. $\rm P$ : 점 $\rm A$ 에서 출발하여 원 $C_1$ 을 따라 시계 반대 방향으로 매초 $1$ 의 속력으로 이동$\rm Q$ : 점 $\rm O$ 에서 출발하여 원 $C_2$ 를 따라 시계 반대 방향으로 매초 $1$ 의 속력으로 이동$\rm R$ : 점..
그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 의 두 변 $\rm BC, \; DC$ 위에 $\angle {\rm PDC} = \angle {\rm QBC} = \theta$ 가 되도록 점 $\rm P$ 와 $\rm Q$ 를 각각 잡고 선분 $\rm BQ$ 와 선분 $\rm DP$ 의 교점을 $\rm R$ 라 하자. 사각형 $\rm RPCQ$ 에 내접하는 원 $C_1$ 의 반지름의 길이를 $r_1$, 삼각형 $\rm RBP$ 에 내접하는 원 $C_2$ 의 반지름의 길이를 $r_2$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0^+}\dfrac{r_2}{r_1}$ 의 값은?① $\dfrac{1}{4}$ ② $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ ③ $\dfrac{1}{..
구간 $[0, \;1]$ 에서 정의된 연속함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $$F(x) = \displaystyle \int_0^x f(t) dt \;\; (0 \le x \le 1)$$ 은 다음 조건을 만족시킨다.(가) $F(x) = f(x)-x$(나) $\displaystyle \int_0^1 F(x) dx = e - \dfrac{5}{2}$ 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?ㄱ. $F(1)=e$ㄴ. $\displaystyle \int_0^1 x F(x) dx = \dfrac{1}{6}$ㄷ. $\displaystyle \int_0^1 \left \{ F(x) \right \}^2 dx = \dfrac{1}{2} e^2 -2e+\dfrac{11}{6}$ ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ..
그림과 같이 제1사분면에 있는 점 ${\rm P}(a, \; 2a)$ 에서 곡선 $y=-\dfrac{2}{x}$ 에 그은 두 접선의 접점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 할 때, $\overline{\rm PA}^2 + \overline{\rm PB}^2 + \overline{\rm AB}^2$ 의 최솟값을 구하시오. 정답 $90$
함수 $f(x)=e^{x+1}-1$ 과 자연수 $n$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x) = 100|f(x)| - \sum \limits_{k=1}^n \left | f \left ( x^k \right ) \right |$$ 이라 하자. $g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. 더보기 정답 39
닫힌 구간 $[0, \;1]$ 에서 증가하는 연속함수 $f(x)$ 가 $$\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=2, \;\;\; \int_0^1 |f(x)| dx = 2\sqrt{2}$$ 를 만족시킨다. 함수 $F(x)$ 가 $$F(x)=\displaystyle \int_0^x |f(t)|dt \;\;(0 \le x \le 1)$$ 일 때, $\displaystyle \int_0^1 f(x)F(x)dx$ 의 값은? ① $4-\sqrt{2}$ ② $2+\sqrt{2}$ ③ $5-\sqrt{2}$ ④ $1+2\sqrt{2}$ ⑤ $2+2\sqrt{2}$ 정답 ④