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목록2022/09 (76)
수악중독
최고차항의 계수가 정수인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(1)=1, \; f'(1)=0$ 이다. 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f(x)+|f(x)-1|$$ 이라 할 때, 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시키도록 하는 함수 $f(x)$ 의 개수를 구하시오. (가) 두 함수 $y=f(x), \; y=g(x)$ 의 그래프의 모든 교점의 $x$ 좌표의 합은 $3$ 이다. (나) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $n < \displaystyle \int_0^n g(x)dx < n+16$ 이다. 더보기 정답 $11$
두 집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4\}$, $Y=\{0, \; 1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6\}$ 에 대하여 $X$ 에서 $Y$ 로의 함수 $f$ 중에서 $$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8$$ 을 만족시키는 함수 $f$ 의 개수는? ① $137$ ② $141$ ③ $145$ ④ $149$ ⑤ $153$ 더보기 정답 ④
서로 다른 두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 두 확률변수 $X, \; Y$ 가 각각 정규분포 ${\rm N} \left (a, \; \sigma^2 \right )$, ${\rm N}\left (2b-a, \; \sigma^2 \right )$ 을 따른다. 확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f(x)$ 와 확률변수 $Y$ 의 확률밀도함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (가) ${\rm P}(x \le 11) = {\rm P} (Y \ge 11)$ (나) $f(17)
그림과 같이 두 주머니 $\rm A$ 와 $\rm B$ 에 흰 공 $1$개, 검은 공 $1$개가 각각 들어 있다. 주머니 $\rm A$ 에 들어 있는 공의 개수 또는 주머니 $\rm B$ 에 들어 있는 공의 개수가 $0$ 이 될 때까지 다음의 시행을 반복한다. 두 주머니 $\rm A, \; B$ 에서 각각 임의로 하나씩 꺼낸 두 개의 공이 서로 같은 색이면 꺼낸 공을 모두 주머니 $\rm A$ 에 넣고, 서로 다른 색이면 꺼낸 공을 모두 주머니 $\rm B$ 에 넣는다. $4$번째 시행의 결과 주머니 $\rm A$ 에 들어 있는 공의 개수가 $0$ 일 때, $2$번째 시행의 결과 주머니 $\rm A$ 에 들어 있는 흰 공의 개수가 $1$ 이상일 확률은 $p$ 이다. $36p$ 의 값을 구하시오. 더보기 ..
그림과 같이 반지름의 길이가 $5$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 에서 선분 $\rm OB$ 를 $2:3$ 으로 내분하는 점을 $\rm C$ 라 하자. 점 $\rm P$ 에서 호 $\rm AB$ 에 접하는 직선과 직선 $\rm OB$ 의 교점을 $\rm Q$ 라 하고, 점 $\rm C$ 에서 선분 $\rm PB$ 에 내린 수선의 발을 $\rm R$, 점 $\rm R$ 에서 선분 $\rm PQ$ 에 내린 수선의 발을 $\rm S$ 라 하자. $\angle \rm POB = \theta$ 일 때, 삼각형 $\rm OCP$ 의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm PRS$ 의 넓이를 $g(\theta)$ 라 하자. $80 \times \lim \lim..
최고차항의 계수가 $-2$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 두 실수 $a\; (a>0)$, $b$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\begin{cases} \dfrac{f(x+1)}{x} & (x
점 $\rm F$ 를 초점으로 하고 직선 $l$ 을 준선으로 하는 포물선이 있다. 포물선 위의 두 점 $\rm A, \; B$ 와 점 $\rm F$ 를 지나는 직선이 직선 $l$ 과 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. 두 점 $\rm A, \; B$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm H, \; I$ 라 하고 점 $\rm B$ 에서 직선 $\rm AH$ 에 내린 수선의 발을 $\rm J$ 라 하자. $\dfrac{\overline{\rm BJ}}{\overline{\rm BI}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{3}$ 이고 $\overline{\rm AB}=8\sqrt{5}$ 일 때, 선분 $\rm HC$ 의 길이는? ① $21\sqrt{3}$ ② $22\sqrt{3}$ ③ $23\..
좌표공간에 점 $(4, \; 3, \; 2)$ 를 중심으로 하고 원점을 지나는 구 $$S:(x-4)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=29$$ 가 있다. 구 $S$ 위의 점 ${\rm P}(a, \; b, \; 7)$ 에 대하여 직선 $\rm OP$ 를 포함하는 평면 $\alpha$ 가 구 $S$ 와 만나서 생기는 원을 $C$ 라 하자. 평면 $\alpha$ 와 원 $C$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 직선 $\rm OP$ 와 $xy$ 평면이 이루는 각의 크기와 평면 $\alpha$ 와 $xy$ 평면이 이루는 각의 크기는 같다. (나) 선분 $\rm OP$ 는 원 $C$ 의 지름이다 $a^2+b^2
좌표평면 위의 세 점 ${\rm A}(6, \;0)$, ${\rm B}(2, \; 6)$, ${\rm C}(k, \; -2k)$, $(k>0)$ 과 삼각형 $\rm ABC$ 의 내부 또는 변 위의 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $5 \overrightarrow{\rm BA} \cdot \overrightarrow{\rm OP} - \overrightarrow{\rm OB} \cdot \overrightarrow{\rm AP} = \overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OB}$ (나) 점 $\rm P$ 가 나타내는 도형의 길이는 $\sqrt{5}$ 이다. $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarr..