수악중독

그림과 같이 $x$ 축과 직선 $l : y=mx \; (m>0)$ 에 동시에 접하는 반지름의 길이가 $2$ 인 원이 있다. $x$ 축과 원이 만나는 점을 $\rm P$, 직선 $l$ 과 원이 만나는 점을 $\rm Q$, 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 지나는 직선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\rm R$ 라 하자. 삼각형 $\rm ROP$ 의 넓이가 $16$ 일 때, $60m$ 의 값을 구하시오. (단, 원의 중심은 제$1$사분면 위에 있고, $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $80$

두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 이차방정식 $x^2+ax+b=0$ 의 서로 다른 두 근은 $\alpha, \; \beta$ 이고, 이차방정식 $x^2+3ax+3b=0$ 의 서로 다른 두 근은 $\alpha+2, \; \beta+2$ 이다. 다음 조건을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최솟값을 구하시오. (가) $\alpha^n + \beta^n >0$ (나) $\alpha^n + \beta^n = \alpha^{n+1}+\beta^{n+1}$ 더보기 정답 $6$

최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하면 이차함수 $y=g(x)$ 의 그래프와 일치한다. 방정식 $f(x)=g(x)$ 는 서로 다른 두 실근 $\alpha, \; \beta \; (\alpha < \beta)$ 를 갖고, 함수 $h(x)$ 는 $$h(x) = \begin{cases} f(x) & (x \beta) \\ g(x) & (\alpha \le x \le \beta) \end{cases}$$ 일 때, 함수 $h(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 $h(x)=h(\beta)$ 는 서로 다른 세 실근을 갖고, 세 실근의 합은 $-4$ 이다. (나) 함수 $y=h(x)$ 의 그래프 위의 점 중에서 $y$ 좌표가 음의 정수인 점의 개수는 ..

그림과 같이 중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $6$ 인 부채꼴 $\rm OAB$ 가 있다. $\overline{\rm AB}=8\sqrt{2}$ 이고 부채꼴 $\rm OAB$ 의 호 $\rm AB$ 위의 한 점 $\rm P$ 에 대하여 $\angle {\rm BPA}>90^{\rm o}$, $\overline{\rm AP}:\overline{\rm BP}=3:1$ 일 때, 선분 $\rm BP$ 의 길이는? ① $\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ ② $\dfrac{5\sqrt{6}}{6}$ ③ $\sqrt{6}$ ④ $\dfrac{7\sqrt{6}}{6}$ ⑤ $\dfrac{4\sqrt{6}}{3}$ 더보기 정답 ⑤

첫째항이 양수이고 공차가 $2$ 인 등차수열 $\{ a_n \}$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. $a_k=31$, $S_{k+10}=640$ 을 만족시키는 자연수 $k$ 에 대하여 $S_k$ 의 값은? ① $200$ ② $205$ ③ $210$ ④ $215$ ⑤ $220$ 더보기 정답 ⑤

집합 $\{x | -4 \le x \le 4 \}$ 에서 정의된 함수 $$f(x)=2 \sin \dfrac{\pi x}{4}$$ 가 있다. 그림과 같이 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 직선 $y=\sqrt{2}$ 와 만나는 서로 다른 두 점을 $\rm A, \; B$ 라 하고, 두 점 $\rm B, \; O$ 를 지나는 직선이 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점 중 $\rm B$ 와 $\rm O$ 가 아닌 점을 $\rm C$ 라 하자. $\angle {\rm BAC}=\theta$ 라 할 때, $\sin \theta$ 의 값은? (단, 점 $\rm B$ 의 $x$ 좌표는 점 $\rm A$ 의 $x$ 좌표보다 크고, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ② $..

실수 $a \; (a>1)$ 와 자연수 $n$ 에 대하여 직선 $x=n$ 이 두 함수 $$y=3a^x, \quad y=3a^{x-1}$$ 의 그래프와 만나는 점을 각각 ${\rm P}_n, \; {\rm Q}_n$ 이라 하자. 선분 ${\rm P}_n{\rm Q}_n$ 의 길이를 $l_n$, 사다리꼴 ${\rm P}_n{\rm Q}_n{\rm Q}_{n+2}{\rm P}_{n+2}$ 의 넓이를 $S_n$ 이라 하자. 두 실수 $L, \; S$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^{20} l_k =L$, $\sum \limits_{k=1}^5 S_{4k-3}=S$ 일 때, 다음은 $\dfrac{S}{L}=\dfrac{2}{5}$ 를 만족시키는 $a$ 의 값을 구하는 과정이다. 두 점 ${\rm ..

집합 $\{ x | -\pi \le x \le \pi \}$ 에서 정의된 함수 $$f(x)= \left | \sin 2x + \dfrac{2}{3} \right |$$ 가 있다. 양수 $k$ 에 대하여 함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 두 직선 $y=3k, \; y=k$ 와 만나는 서로 다른 점의 개수를 각각 $m, \; n$ 이라 할 때, $|m-n|=3$ 을 만족시킨다. $-\pi \le x \le \pi$ 일 때, $x$ 에 대한 방정식 $f(x)=k$ 의 모든 실근의 합은? ① $\dfrac{3}{2} \pi$ ② $2 \pi$ ③ $\dfrac{5}{2} \pi$ ④ $3 \pi$ ⑤ $\dfrac{7}{2}\pi$ 더보기 정답 ②

그림과 같이 곡선 $y=\log_2 x$ 위의 한 점 ${\rm A}(x_1, \; y_1)$ 을 지나고 기울기가 $-1$ 인 직선이 곡선 $y=2^x$ 과 만나는 점을 ${\rm B}(x_2, \; y_2)$ 라 하고, 두 점 $\rm B, \; O$ 를 지나는 직선 $l$ 이 곡선 $y=\left (\dfrac{1}{2} \right )^x$ 과 만나는 점을 ${\rm C} (x_3, \; y_3)$ 이라 하자. 삼각형 $\rm OAB$ 의 넓이가 삼각형 $\rm OAC$ 의 넓이의 $2$ 배일 때, 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $x_1 >1$ 이고, $\rm O$ 는 원점이다.) ㄱ. $\overline{\rm OC}=\dfrac{1}{2} \overline{\rm OA}$ ㄴ...

그림과 같이 양수 $a$ 에 대하여 $\overline{\rm AB}=4$, $\overline{\rm BC}=a$, $\overline{\rm CA}=8$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. $\angle {\rm BAC}$ 의 이등분선이 선분 $\rm BC$ 와 만나는 점을 $\rm P$ 라 하자. $a(\sin {\rm B}+\sin {\rm C} ) = 6 \sqrt{3}$ 일 때, 선분 $\rm AP$ 의 길이는? (단, $\angle {\rm BAC} > 90^{\rm o}$) ① $\dfrac{7}{3}$ ② $\dfrac{8}{3}$ ③ $3$ ④ $\dfrac{10}{3}$ ⑤ $\dfrac{11}{3}$ 더보기 정답 ②