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목록2022/09 (76)
수악중독
곡선 $y=x^3-x^2$ 위의 제 $1$ 사분면에 있는 점 $\rm A$ 에서 접선의 기울기가 $8$ 이다. 점 $(0, \; 2)$ 를 중심으로 하는 원 $S$ 가 있다. 두 점 $\rm B(0, \; 4)$ 와 원 $S$ 위의 점 $\rm X$ 에 대하여 두 직선 $\rm OA$ 와 $\rm BX$ 가 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\overline{\rm BX} \sin\theta$ 의 최댓값이 $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$ 가 되도록 하는 원 $S$ 의 반지름의 길이는? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $\dfrac{3\sqrt{5}}{4}$ ② $\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$ ③ $\dfrac{17\sqrt{5}}{20}$ ④ $\dfrac{9..
최고차항의 계수가 양수인 다항함수 $f(x)$ 와 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 $y$ 축에 대하여 대칭이동한 그래프를 나타내는 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}$ 의 값이 존재한다. (나) $\lim \limits_{x \to 3} \dfrac{f(x)}{(x-3)g(x)} = k$ ($k$ 는 $0$ 이 아닌 상수) (다) $\lim \limits_{x \to -3+} \dfrac{1}{g'(x)} = \infty$ $f(x)$ 의 차수의 최솟값이 $m$ 이다. $f(x)$ 의 차수가 최소일 때, $m+k$ 의 값은? ① $\dfrac{10}{3}$ ② $\dfrac{43}{12}$ ③ $\dfrac{2..
함수 $$f(x)=\begin{cases} 1+x & (-1 \le x 1) \end{cases}$$ 에 대하여 함수 $g(x)$를 $$g(x)=\displaystyle \int_{-1}^x f(t)\{2x-f(t)\} dt $$ 라 할 때, 함수 $g(x)$ 의 최솟값은? ① $-\dfrac{1}{4}$ ② $-\dfrac{1}{3}$ ③ $-\dfrac{5}{12}$ ④ $-\dfrac{1}{2}$ ⑤ $-\dfrac{7}{12}$ 더보기 정답 ②
두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 함수 $$f(x)=\sin (a\pi x)+2b \quad (0 \le x \le 1)$$ 이 있다. 집합 $\{ x | \log_2f(x) \text{는 정수}\}$ 의 원소의 개수가 $8$ 이 되도록 하는 서로 다른 모든 $a$ 값의 합은? ① $12$ ② $15$ ③ $18$ ④ $21$ ⑤ $24$ 더보기 정답 ①
좌표평면에서 네 점 $\rm A(0, \;0)$, $\rm B(1, \; 0)$, $\rm C(1, \; 1)$, $\rm D(0, \; 1)$ 이 있다. 자연수 $n$ 에 대하여 집합 $X_n$ 은 다음 조건을 만족시키는 모든 점 $(p, \; q)$ 를 원소로 하는 집합이다. (가) 점 $(p, \; q)$ 는 정사각형 $\rm ABCD$ 의 내부에 있다. (나) 정사각형 $\rm ABCD$ 의 변 위를 움직이는 점 $\rm P$ 와 점 $(p, \; q)$ 사이의 거리의 최솟값은 $\dfrac{1}{2^n}$ 이다. (다) $p=\dfrac{1}{2^k}$ 이고 $q=\dfrac{1}{2^m}$ 인 자연수 $k, \; m$ 이 존재한다. 집합 $X_n$ 의 원소의 개수를 $a_n$ 이라 할 때, $..
좌표평면에서 정삼각형 $\rm ABC$ 에 내접하는 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $S$ 가 있다. 실수 $t\; (0\le t \le 1)$ 에 대하여 삼각형 $\rm ABC$ 위의 점 $\rm P$ 와 원 $S$ 의 거리가 $t$ 인 점 $\rm P$ 의 개수를 $f(t)$ 라 하자. 함수 $f(t)$ 가 $t=k$ 에서 불연속인 $k$ 의 개수를 $a$, $\lim \limits_{t \to 1-}f(t)=b$ 라 할 때, $a+b$ 의 값은? (여기서, 점 $\rm P$ 와 원 $S$ 의 거리는 점 $\rm P$ 와 원 $S$ 위의 점 $\rm X$ 에 대하여 선분 $\rm PX$ 의 길이의 최솟값이다.) ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ③