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목록2022/03 (45)
수악중독
실수 $t$에 대하여 직선 $y=tx-2$가 함수 $$f(x)=\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2x^{2n+1}-1}{x^{2n}+1}$$의 그래프와 만나는 점의 개수를 $g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$가 $t=a$에서 불연속인 모든 $a$의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $a_1, \; a_2, \; \cdots, \; a_m$ ($m$은 자연수)라 할 때, $m \times a_m$의 값을 구하시오. 더보기 정답 $28$
그림과 같이 자연수 $n$에 대하여 곡선 $$T_n\; : \; y=\dfrac{\sqrt{3}}{n+1}x^2\; (x \ge 0)$$위에 있고 원점 $\rm O$와의 거리가 $2n+2$인 점을 $\mathrm{P}_n$이라 하고, 점 $\mathrm{P}_n$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}_n$이라 하자. 중심이 $\mathrm{P}_n$이고 점 $\mathrm{H}_n$을 지나는 원을 $C_n$이라 할 때, 곡선 $T_n$과 원 $C_n$의 교점 중 원점에 가까운 점을 $\mathrm{Q}_n$, 원점에서 원 $C_n$에 그은 두 접선의 접점 중 $\mathrm{H}_n$이 아닌 점을 $\mathrm{R}_n$이라 하자. 점 $\mathrm{R}_n$을 포함하지 않는 호 $\..
그림과 같이 타원 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$의 두 초점 $\rm F, \; F'$에 대하여 선분 $\rm FF'$을 지름으로 하는 원을 $C$라 하자. 원 $C$가 타원과 제1사분면에서 만나는 점을 $\rm P$라 하고, 원 $C$가 $y$축과 만나는 점 중 $y$좌표가 양수인 점을 $\rm Q$라 하자. 두 직선 $\rm F'P, \; QF$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 하자. $\cos \theta=\dfrac{3}{5}$일 때, $\dfrac{b^2}{a^2}$의 값은? (단, $a, \; b$는 $a>b>0$인 상수이고, 점 $\rm F$의 $x$좌표는 양수이다.) ① $\dfrac{11}{64}$ ② $\dfrac{3}{16}$ ③ $\dfr..
두 점 $\rm F, \; F'$을 초점으로 하는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{32}=1$ 위의 점 $\rm A$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overline{\rm AF}
그림과 같이 꼭짓점이 $\rm A_1$이고 초점이 $\rm F_1$인 포물선 $P_1$과 꼭짓점이 $\rm A_2$이고 초점이 $\rm F_2$인 포물선 $P_2$가 있다. 두 포물선의 준선은 모두 직선 $\rm F_1F_2$와 평행하고, 두 선분 $\rm A_1A_2, \; F_1F_2$의 중점은 서로 일치한다. 두 포물선 $P_1, \; P_2$가 서로 다른 두 점에서 만날 때 두 점 중에서 점 $\rm A_2$에 가까운 점을 $\rm B$라 하자. 포물선 $P_1$이 선분 $\rm F_1F_2$와 만나는 점을 $\rm C$라 할 때, 두 점 $\rm B, \; C$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overline{\rm A_1C}=5\sqrt{5}$ (나) $\overline{\rm F_1B}..