수악중독

집합 $x=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}$에 대하여 $X$에서 $X$로의 함수 $f$의 역함수가 존재하고 $$f(1)+2f(3)=12, \quad f^{-1}(1)-f^{-1}(3)=2$$일 때, $f(4)+f^{-1}(4)$의 값은? ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$ 더보기 정답 ②

연립부등식 $$\begin{cases} |x-k| \le 5 & \\ x^2-x-12>0 &\end{cases}$$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합이 $7$이 되도록 하는 정수 $k$의 값은? ① $-2$ ② $-1$ ③ $0$ ④ $1$ ⑤ $2$ 더보기 정답 ④

삼차방정식 $x^3-x^2-kx+k=0$의 세 근을 $\alpha, \; \beta, \; \gamma$라 하자. $\alpha, \; \beta$ 중 실수는 하나뿐이고 $\alpha^2=-2\beta$일 때, $\beta^2+\gamma^2$의 값은? (단, $k$는 $0$이 아닌 실수이다.) ① $-5$ ② $-4$ ③ $-3$ ④ $-2$ ⑤ $-1$ 더보기 정답 ⑤

실수 $x$에 대하여 두 조건 $$\begin{aligned} &p : x^2+2ax+1 \ge 0, \\ &q:x^2+2b+9 \le 0\end{aligned}$$이 있다. 다음 두 문장이 모두 참인 명제가 되도록 하는 정수 $a, \; b$의 순서쌍 $(a, \; b)$의 개수는? - 모든 실수 $x$에 대하여 $p$이다. - $p$는 $\sim q$이기 위한 충분조건이다. ① $15$ ② $18$ ③ $21$ ④ $24$ ⑤ $27$ 더보기 정답 ①

함수 $f(x)=\dfrac{a}{x}+b \; (a \ne 0)$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 곡선 $y=|f(x)|$는 직선 $y=2$와 한 점에서만 만난다. (나) $f^{-1}(2)=f(2)-1$ $f(8)$의 값은? (단, $a,\; b$는 상수이다.) ① $-\dfrac{1}{2}$ ② $-\dfrac{1}{4}$ ③ $0$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 더보기 정답 ①

두 자연수 $k, \; m \; (k \ge m)$에 대하여 전체집합 $$U=\{x \; |\; x\text{는 }k \text{ 이하의 자연수}\}$$의 두 부분집합 $A=\{x \; | \; x\text{는 } m\text{의 약수}\}$, $B$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $B-A=\{4, \; 7\}, \; n\left (A \cup B^C \right )=7$ (나) 집합 $A$의 모든 원소의 합과 집합 $B$의 모든 원소의 합은 서로 같다. 집합 $A^C \cap B^C$의 모든 원소의 합은? ① $18$ ② $19$ ③ $20$ ④ $21$ ⑤ $22$ 더보기 정답 ⑤

두 직선 $l_1 : 2x+y+2=0, \; l_2 : x-2y-4=0$의 교점을 $\mathrm{A}$, 두 직선 $l_1, \; l_2$가 $x$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{B, \; C}$라 하자. 제1사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원 위의 점 $\mathrm{Q}$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 $\mathrm{Q}$는 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 무게중심이다. (나) 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 $3$배이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 두 직선 $l_1, \; l_2$는 서로 수직이다. ㄴ. 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표는 $2$이다...

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정육각형 $\mathrm{ABCDEF}$가 있다. 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{A}$에서 출발하여 점 $\mathrm{F}$까지 화살표 방향으로 정육각형 $\mathrm{ABCDEF}$의 변을 따라 움직인다. 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{A}$로부터 움직인 거리가 $x \; (0

집합 $X=\{x \; |\; x \ge a\}$에서 집합 $Y=\{y\; | \; y \ge b\}$로의 함수 $f(x)=x^2-4x+3$이 일대일대응이 되도록 하는 두 실수 $a, \; b$에 대하여 $a-b$의 최댓값은 $\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $17$

두 양수 $a, \; b$에 대하여 원 $C : (x-1)^2+y^2=r^2$을 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 원을 $C'$이라 할 때, 두 원 $C, \; C'$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 원 $C'$은 원 $C$의 중심을 지난다. (나) 직선 $4x-3y+21=0$은 두 원 $C, \; C'$에 모두 접한다. $a+b+r$의 값을 구하시오. (단, $r$는 양수이다.) 더보기 정답 $12$