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목록2022/03 (45)
수악중독
그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정육각형 $\mathrm{ABCDEF}$가 있다. 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{A}$에서 출발하여 점 $\mathrm{F}$까지 화살표 방향으로 정육각형 $\mathrm{ABCDEF}$의 변을 따라 움직인다. 점 $\mathrm{P}$가 점 $\mathrm{A}$로부터 움직인 거리가 $x \; (0
집합 $X=\{x \; |\; x \ge a\}$에서 집합 $Y=\{y\; | \; y \ge b\}$로의 함수 $f(x)=x^2-4x+3$이 일대일대응이 되도록 하는 두 실수 $a, \; b$에 대하여 $a-b$의 최댓값은 $\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $17$
두 양수 $a, \; b$에 대하여 원 $C : (x-1)^2+y^2=r^2$을 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 원을 $C'$이라 할 때, 두 원 $C, \; C'$이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 원 $C'$은 원 $C$의 중심을 지난다. (나) 직선 $4x-3y+21=0$은 두 원 $C, \; C'$에 모두 접한다. $a+b+r$의 값을 구하시오. (단, $r$는 양수이다.) 더보기 정답 $12$
그림과 같이 한 개의 정삼각형과 세 개의 정사각형으로 이루어진 도형이 있다. 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6 중에서 중복을 허락하여 네 개를 택해 네 개의 정다각형 내부에 하나씩 적을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (가) 세 개의 정사각형에 적혀 있는 수는 모두 정삼각형에 적혀 있는 수보다 작다. (나) 변을 공유하는 두 정사각형에 적혀 있는 수는 서로 다르다. 더보기 정답 $130$
최고차항의 계수가 양수인 두 다항식 $f(x), \; g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(x)$를 $x^2+g(x)$로 나눈 몫은 $x+2$이고 나머지는 $\{g(x)\}^2-x^2$이다. (나) $f(x)$는 $g(x)$로 나누어 떨어진다. $f(0) \ne 0$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오. 더보기 정답 $33$
최고차항의 계수가 2인 이차함수 $f(x)$와 최고차항의 계수가 1인 이차함수 $g(x)$가 있다. 방정식 $\{f(x)-1\}\{g(x)-1\}=0$의 모든 실근의 집합을 $A$라 하고, 방정식 $f(x)=g(x)$의 모든 실근의 집합을 $B$라 하면 두 실수 $\alpha, \; \beta \; (\alpha < \beta)$에 대하여 $$A=\{\alpha, \; \beta\}, \quad B=\{\alpha, \; \beta+3\}$$이다. 상수 $k$에 대하여 방정식 $$\{f(x)-k\}\{g(x)-k\}=0$$의 서로 다른 실근의 개수가 3이고 이 세 실근의 합이 12일 때, $\alpha+\beta+k$의 값을 구하시오. 더보기 정답 $50$
수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 속도 $v(t)$가 $$v(t)=3t^2+at$$이다. 시각 $t=0$에서의 점 $\mathrm{P}$의 위치와 시각 $t=6$에서의 점 $\mathrm{P}$의 위치가 서로 같을 때, 점 $\mathrm{P}$가 시각 $t=0$에서 $t=6$까지 움직인 거리는? (단, $a$는 상수이다.) ① $64$ ② $66$ ③ $68$ ④ $70$ ⑤ $72$ 더보기 정답 ①
두 함수 $$f(x)=x^2+2x+k, \quad g(x)=2x^3-9x^2+12x-2$$에 대하여 함수 $(g \circ f)(x)$의 최솟값이 $2$가 되도록 하는 실수 $k$의 최솟값은? ① $1$ ② $\dfrac{9}{8}$ ③ $\dfrac{5}{4}$ ④ $\dfrac{11}{8}$ ⑤ $\dfrac{3}{2}$ 더보기 정답 ⑤
그림과 같이 두 상수 $a, \; k$에 대하여 직선 $x=k$가 두 곡선 $y=2^{x-1}+1, \; y=\log_2(x-a)$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A, \; B}$라 하고, 점 $\mathrm{B}$를 지나고 기울기가 $-1$인 직선이 곡선 $y=2^{x-1}+1$과 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자. $\overline{\mathrm{AB}}=8, \; \overline{\mathrm{BC}}=2\sqrt{2}$일 때, 곡선 $y=\log_2(x-a)$가 $x$축과 만나는 점 $\mathrm{D}$에 대하여 사각형 $\mathrm{ACDB}$의 넓이는? (단, $0
$a>2$인 상수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를 $$f(x)=\begin{cases}x^2-4x+3 & (x \le 2) \\ -x^2 +ax & (x>2)\end{cases}$$라 하자. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g(x)$에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $h(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $h(1)+h(3)$의 값은? (가) $x \ne 1, \; x \ne a$일 때, $h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}$이다. (나) $h(1)=h(a)$ ① $-\dfrac{15}{6}$ ② $-\dfrac{7}{3}$ ③ $-\dfrac{13}{6}$ ④ $-2$ ⑤ $-\dfrac{11}{6}$ 더보기 정답 ③