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목록2021/11/18 (19)
수악중독
두 집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5\}, \; Y=\{1, \; 2, \; 3, \; 4\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $X$ 에서 $Y$ 로의 함수 $f$ 의 개수는? (가) 집합 $X$ 의 모든 원소 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge \sqrt{x}$ 이다. (나) 함수 $f$ 의 치역의 원소의 개수는 $3$ 이다. ① $128$ ② $138$ ③ $148$ ④ $158$ ⑤ $168$ 더보기 정답 ①
두 연속확률변수 $X$ 와 $Y$ 가 갖는 값의 범위는 $0 \le X \le 6, \; 0 \le Y \le 6$ 이고, $X$ 와 $Y$ 의 확률밀도함수는 각각 $f(x) , \; g(x)$ 이다. 확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f(x)$ 의 그래프는 그림과 같다. $0 \le x \le 6$ 인 모든 $x$ 에 대하여 $$f(x)+g(x)=k \quad (k \text{는 상수})$$ 를 만족시킬 때, ${\rm P} (6k \le Y \le 15k)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $31$
흰 공과 검은 공이 각각 $10$ 개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $5$ 이상이면 바구니에 있는 흰 공 $2$ 개를 주머니에 넣고, 나온 눈의 수가 $4$ 이하이면 바구니에 있는 검은 공 $1$ 개를 주머니에 넣는다. 위의 시행을 $5$ 번 반복할 때, $n \; (1 \le n \le 5)$ 번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 $a_n, \; b_n$ 이라 하자. $a_5 + b_5 \ge 7$ 일 때, $a_k=b_k$ 인 자연수 $k \; (1 \le k \le 5)$ 가 존재할 확률은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$..
함수 $f(x)=6\pi(x-1)^2$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=3f(x)+4 \cos f(x)$$ 라 하자. $0
그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\rm AB$ 위에 두 점 $\rm P, \; Q$ 를 $\angle \rm PAB=\theta, \; \angle QBA=2\theta$ 가 되도록 잡고, 두 선분 $\rm AB, \; BQ$ 의 교점을 $\rm R$ 이라 하자. 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm S$, 선분 $\rm BR$ 위의 점 $\rm T$, 선분 $\rm AR$ 위의 점 $\rm U$ 를 선분 $\rm UT$ 가 선분 $\rm AB$ 에 평행하고 삼각형 $\rm STU$ 가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 $\rm AR, \; QR$ 와 호 $\rm AQ$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $\rm STU$..
실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(1)=1, \; \displaystyle \int_1^2 f(x) dx = \dfrac{5}{4}$ (나) 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, $x \ge 1$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(2x)=2f(x)$ 이다. $\displaystyle \int_1^8 xf'(x) dx = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 더보기 정답 $143$
두 양수 $a, \; p$ 에 대하여 포물선 $ (y-a)^2=4px$ 의 초점을 $\rm F_1$ 이라 하고, 포물선 $y^2=-4x$ 의 초점을 $\rm F_2$ 라 하자. 선분 $\rm F_1F_2$ 가 두 포물선과 만나는 점을 각각 $\rm P, \; Q$ 라 할 때, $\overline{\rm F_1F_2}=3, \; \overline{\rm PQ}=1$ 이다. $a^2 + p^2$ 의 값은? ① $6$ ② $\dfrac{25}{4}$ ③ $\dfrac{13}{2}$ ④ $\dfrac{27}{4}$ ⑤ $7$ 더보기 정답 ⑤
좌표평면에서 $\overline{\rm OA}=\sqrt{2}, \; \overline{\rm OB}=2\sqrt{2}$ 이고 $\cos ( \angle {\rm AOB})=\dfrac{1}{4}$ 인 평행사변형 $\rm OACB$ 에 대하여 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\rm OP} = s \overrightarrow{\rm OA} + t \overrightarrow{\rm OB} \quad (0 \le s \le 1, \; 0 \le t \le 1)$ (나) $\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OB} + \overrightarrow{\rm BP} \cdot \overrightarrow{\rm..
좌표공간에 중심이 $\rm C \left (2, \; \sqrt{5}, \; 5 \right )$ 이고 점 $\rm P(0, \; 0, \; 1)$ 을 지나는 구 $$S \; : \; (x-2)^2+ \left (y-\sqrt{5} \right )^2 +(z-5)^2=25$$ 가 있다. 구 $S$ 가 평면 $\rm OPC$ 와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점 $\rm Q$, 구 $S$ 위를 움직이는 점 $\rm R$ 에 대하여 두 점 $\rm Q, \; R$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영을 각각 $\rm Q_1, \; R_1$ 이라 하자. 삼각형 $\rm OQ_1R_1$ 의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 $\rm Q, \; R$ 에 대하여 삼각형 $\rm OQ_1R_1$ 의 평면 $\rm PQR..