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목록2020/04 (6)
수악중독
서로 다른 종류의 꽃 $4$ 송이와 같은 종류의 초콜릿 $2$ 개를 $5$ 명의 학생에게 남김없이 나누어 주려고 한다. 아무것도 받지 못하는 학생이 없도록 꽃과 초콜릿을 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. 더보기 정답 $960$ 학생은 $5$ 명이고, 나누어 줄 물품은 $6$ 개 이므로 어느 한 사람은 두 가지 물품을 받아야 한다. 1) 두 가지 물품을 받는 학생이 초콜릿만 두 개를 받는 경우 두 가지 물품을 받을 사람을 선택하는 경우의 수 : ${}_5 {\rm C}_1$ 나머지 네 명에게 꽃을 나누어 주는 경우의 수 : $4!$ 따라서 ${}_5{\rm C}_1 \times 4! = 120$ 2) 두 가지 물품을 받는 학생이 꽃만 $2$ 개를 받는 경우 두 가지 물품을 받을 사람을 선택하는 경우의 수..
한 변의 길이가 $4$ 인 정육각형 모양의 종이를 다음과 같이 차례로 접는다. 아래 그림은 위와 같은 방법으로 접은 모양을 나타낸 것이다. 위 그림의 어두운 부분의 넓이가 $a+b\sqrt{3}$ 일 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 유리수이고, 종이의 두께는 무시한다.) 더보기 정답 $23$
함수 $f(x) = \sqrt{ax-3} +2 ~ \left ( a \ge \dfrac{3}{2} \right ) $ 에 대하여 집합 $\{ x \; | \; x \ge 2\}$ 에서 정의된 함수 $$g(x) = \begin{cases} f(x) & (f(x) < f^{-1}(x)~인~경우) \\ f^{-1}(x) & (f(x) \ge f^{-1}(x) ~인~경우) \end{cases}$$ 가 있다. 자연수 $n$ 에 대하여 함수 $y=g(x)$ 의 그래프와 직선 $y=x-n$ 이 만나는 서로 다른 점의 개수를 $h(n)$ 이라 하자. $$h(1)=h(3) < h(2)$$ 일 때, $g(4)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 는 상수이고, $p$ 와 $q$ 는 ..
$0$ 이 아닌 실수 $m$ 에 대하여 두 함수 $$ \begin{aligned}f(x)& = 2x^3 -8x, \\[15pt] g(x) &= \begin{cases} - \dfrac{47}{m}x+\dfrac{4}{m^3} &(x
자연수 $n$ 에 대하여 두 점 ${\rm A}(0, ~n+5)$, ${\rm B}(n+4, ~0)$ 과 원점 $\rm O$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm AOB$ 가 있다. 삼각형 $\rm AOB$ 의 내부에 포함된 정사각형 중 한 변의 길이가 $1$ 이고 꼭짓점의 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 자연수인 정사각형의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^8 a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $164$
최고차항의 계수가 $4$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 실수 $t$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\displaystyle \int_t^x f(s) ds$$ 라 하자. 상수 $a$ 에 대하여 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f'(a) =0$ (나) 함수 $|~g(x)-g(a)~|$ 가 미분가능하지 않은 $x$ 의 개수는 $1$ 이다. 실수 $t$ 에 대하여 $g(a)$ 의 값을 $h(t)$ 라 할 때, $h(3)=0$ 이고 함수 $h(t)$ 는 $t=2$ 에서 최댓값 $27$ 을 가진다. $f(5)$ 의 값을 구하시오. 정답 $432$