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목록2018/03 (40)
수악중독
어느 상점에서 두 원료 $\rm P, \; Q$ 를 혼합하여 두 향수 $\rm A, \; B$ 를 생산, 판매한다. 두 향수 $\rm A, \; B$ 를 각각 $1$ 병씩 만드는 데 사용되는 두 원료 $\rm P, \; Q$ 의 양은 다음 표와 같다.원료 $\rm P$ 의 구입 비용은 $100\rm ml$ 당 $1$ 만 원이고 원료 $\rm Q$ 의 구입 비용은 $100\rm ml$ 당 $2$ 만 원이다. 한 달에 생산할 수 있는 두 향수 $\rm A, \; B$ 의 병의 개수의 합이 최대 $50$ 이고, 한 달에 사용할 수 있는 두 원료 $\rm P, \;Q$ 의 총 구입 비용은 최대 $110$ 만 원이다. 향수 $\rm A$ 의 판매 가격은 $1$ 병당 $a$ 만 원이고, 향수 $\rm B$ 의 판매..
다음 조건을 만족시키는 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(3)$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M-m$ 의 값은? (가) 부등식 $f \left (\dfrac{1-x}{4} \right ) \le 0$ 의 해가 $-7 \le x \le 9$ 이다. (나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $f(x) \ge 2x-\dfrac{13}{3}$ 이 성립한다. ① $\dfrac{7}{4}$ ② $\dfrac{11}{6}$ ③ $\dfrac{23}{12}$ ④ $2$ ⑤ $\dfrac{25}{12}$ 정답 ⑤
함수 $f(x)=x^2+2x-8$ 에 대하여 부등식 $$\dfrac{|f(x)|}{3} -f(x) \ge m(x-2)$$ 를 만족시키는 정수 $x$ 의 개수가 $10$ 이 되도록 하는 양수 $m$ 의 최솟값을 구하시오. 정답 $2$
공차가 양수인 등차수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 수열 $\{a_n\}$ 의 모든 항은 정수이다. (나) $a_7, \; a_8, \; a_k$ 가 이 순서대로 등비수열을 이루도록 하는 $8$ 보다 큰 자연수 $k$ 가 존재한다. $a_k=144$ 가 되도록 하는 모든 $k$ 의 값의 합을 구하시오. 정답 $67$
함수 $f(x)=\displaystyle \int_0^x \sin (\pi \cos t) \; dt$ 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $f'(0)=0$ ㄴ. 함수 $y=f(x)$ 의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. ㄷ. $f(\pi)=0$ ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=2$, $\overline{\rm B_1C_1}=3$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 이 있다. 선분 $\rm A_1D_1$ 을 삼등분하는 점 중에서 $\rm A_1$ 에 가까운 점부터 차례대로 $\rm E_1, \; F_1$ 이라 하고, 선분 $\rm B_1F_1$ 과 선분 $\rm C_1E_1$ 의 교점을 $\rm G_1$ 이라 하자. 삼각형 $\rm B_1G_1E_1$ 과 삼각형 $\rm C_1F_1G_1$ 의 내부에 색칠하여 얻은 그리을 $R_1$ 이라 하자.그림 $R_1$ 에서 선분 $\rm B_1C_1$ 위에 두 꼭짓점 $\rm B_2, \; C_2$ 가 있고, 선분 $\rm B_1G_1$ 위에 꼭짓점 $\rm A_2$, 선분..
함수 $f(x)=\left (x^2+ax+b \right) e^x$ 과 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(1)=e, \;\; f'(1)=e$(나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(f(x))=f'(x)$ 이다. 함수 $h(x)=f^{-1}(x)g(x)$ 에 대하여 $h'(e)$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ④
사과, 배, 귤 세 종류의 과일이 각각 $2$ 개씩 있다. 이 $6$ 개의 과일 중 $4$ 개를 선택하여 $2$ 명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 종류의 과일은 서로 구별하지 않고, 과일을 한 개도 받지 못하는 학생은 없다.) 정답 $51$
함수 $$f(x)=\left \{ \begin{array}{lc} e^x & (0 \le x < 1) \\ e^{2-x}&(1 \le x \le 2) \end{array} \right . $$ 에 대하여 열린 구간 $(0, \; 2)$ 에서 정의된 함수 $$g(x) = \displaystyle \int_0^x |f(x)-f(t)|\;dt$$ 의 극댓값과 극솟값의 차는 $ae+b\sqrt[3]{e^2}$ 이다. $(ab)^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 유리수이다.) 정답 $36$
집합 $X=\{1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 7, \; 8, \; 9\}$ 에 대하여 두 함수 $f\; : \; X \rightarrow X, \;\; g\; : \; X \rightarrow X$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(1)=8, \;\; f(3) \ne 6$(나) 함수 $(g \circ f)(x)$ 는 항등함수이다.(다) 집합 $X$ 의 모든 원소 $x$ 에 대하여 $f(x)+g(x)$ 의 값은 일정하다. $(f \circ f \circ f)(7)$ 의 값은? ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$ 정답 ②