미적분과 통계기본_통계_이산확률변수의 기댓값_난이도 상

$1,\;2,\;3,\; \cdots,\; n$ 의 번호가 하나씩 적혀 있는 $n$ 개의 모양과 크기가 같은 공이 들어 있는 상자에서 $5$ 개의 공을 동시에 꺼내어 그 번호의 최댓값을 확률변수 $X$ 라고 하자. 다음은 $X$ 의 기댓값 ${\rm E} (X)$ 를 구하는 과정이다.

$1,\;, 2,\;3,\; \cdots ,\; k,\; \cdots ,\; n$ 중에서 $5$ 개를 꺼낼 때, 최대의 눈을 $X$ 라고 하면

${\rm P} (X=k) = \;(가)\;$

$\therefore {\rm E}(X)=\sum \limits _{k=5}^{n} k \cdot {\rm P} (X=k) = \sum \limits _{k=5}^{n} k \cdot \;(가)$

이때, $k\cdot {_{k-1} {\rm C} _4} = k \cdot {\Large \frac{(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}=\;(나)$

따라서 ${\rm E} (X)=\; (다)$ 

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?
 

	(가)	(나)	(다)
①	$\frac{_{k-1} {\rm C}_4 }{_n {\rm C} _5}$	$_k {\rm C} _5$	$\frac{6(n+1)}{5}$
②	$\frac{_{k} {\rm C}_5 }{_n {\rm C} _5}$	$_k {\rm C}_5$	$\frac{6}{5(n+1)}$
③	$\frac{_{k-1} {\rm C}_4 }{_n {\rm C} _5}$	$5 \cdot _k {\rm C} _5$	$\frac{6(n+1)}{5}$
④	$\frac{_{n-k} {\rm C}_4 }{_n {\rm C} _5}$	$5 \cdot _k {\rm C} _5$	$\frac{5}{6(n+1)}$
⑤	$\frac{_{k-1} {\rm C}_4 }{_n {\rm C} _5}$	$5 \cdot _k {\rm C} _5$	$\frac{5(n+1)}{6}$

정답 ⑤