수학1(수학10연계)_수열의 극한_극한의 의미_난이도 상

수렴하는 두 수열 \(\{a_n\},\; \{ b_n \}\)   \((n=1,\;2,\;3,\;\cdots )\) 의 항들 사이에 \[a_{n+1} = { \frac {a_n + b_n}{2}},\;\; b_{n+1} = \sqrt {a_n b_n } \] 이 성립한다. 다음 <보기> 의 설명 중에서 옳은 것을 있는 대로 고른 것은?  
(단, \(0<a_1 <b_1\) ) 

ㄱ. \(a_{n+1} > b_{n+1} \;\; \; (n=1,\; 2,\; 3,\; \cdots )\)
ㄴ. \({\dfrac{a_{n+1}}{b_{n+1}}} = {\dfrac {1}{2}} \left ( \sqrt{ \dfrac{a_n}{b_n}} + \sqrt { \dfrac {b_n}{a_n}} \right ) \;\;\; (n=1,\; 2,\; 3,\; \cdots ) \)
ㄷ. \( \lim \limits _{n \to \infty} a_n = \lim \limits _{n \to \infty} b_n \) 

① ㄷ          ② ㄱ, ㄴ          ③ ㄱ, ㄷ          ④ ㄴ, ㄷ           ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 ⑤