그림과 같이 양수 $a$에 대하여 두 반비례 관계 $y=\dfrac{a}{x}, y=-\dfrac{2a}{x}$의 그래프가 있다. 양수 $m$에 대하여 정비례 관계 $y=mx$의 그래프가 $y=\dfrac{a}{x}$의 그래프와 제$1$사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{A}$라 하고, 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 $y=-\dfrac{2a}{x}$의 그래프와 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하자. $y=mx$의 그래프 위의 점 중 $x$좌표가 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표의 $\dfrac{1}{2}$배인 점을 $\mathrm{C}$라 하고, 점 $\mathrm{C}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 $y=-\dfrac{2a}{x}$의 그래프와 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하자. 사각형 $\mathrm{ACDB}$의 넓이가 $45$일 때, $a$의 값을 구하시오.
