그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=16, \overline{\mathrm{BC}}=15, \angle \mathrm{B} < 90^{\circ}$인 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$의 변 $\mathrm{CD}$ 위에 $\overline{\mathrm{CE}}=6$인 점 $\mathrm{E}$가 있다. 직선 $\mathrm{BC}$와 직선 $\mathrm{AE}$의 교점을 $\mathrm{F}$라 할 때, $\overline{\mathrm{EF}}=9$이다. 삼각형 $\mathrm{ABF}$의 내심을 $\mathrm{I}$, 선분 $\mathrm{DF}$의 수직이등분선과 직선 $\mathrm{CD}$의 교점을 $\mathrm{J}$라 할 때, 선분 $\mathrm{AE}$ 위의 점 $\mathrm{K}$는 $\overline{\mathrm{IJ}}=\overline{\mathrm{KJ}}$를 만족시킨다. $\tan(\angle \mathrm{FKD}) = \dfrac{q\sqrt{2}}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)
