상수 $a$ $(a > 1)$에 대하여 곡선 $y = a^x - 2$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$, 곡선 $y = a^x - 2$의 점근선과 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자. $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{BC}}$이고, 삼각형 $\mathrm{AOC}$의 넓이가 $8$일 때, $a \times \overline{\mathrm{OB}}$의 값은? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.)
① $2^{\frac{13}{6}}$ ② $2^{\frac{7}{3}}$ ③ $2^{\frac{5}{2}}$ ④ $2^{\frac{8}{3}}$ ⑤ $2^{\frac{17}{6}}$
