여러 가지 수열의 합_난이도 중 (2025년 11월 수능 20번)

 

 

수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

 

- $a_1 = 7$
- $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = \frac{2}{3} a_n + \frac{1}{6} n^2 - \frac{1}{6} n + 10$$이다.

 

다음은 $\displaystyle \sum_{k=1}^{12} a_k + \sum_{k=1}^5 a_{2k+1}$ 의 값을 구하는 과정이다.

 

$2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} a_k - \sum_{k=1}^n a_k$ 이므로$$a_{n+1} = \frac{2}{3} (a_{n+1} - a_n) + \boxed{\text{ (가) }}$$이고, 이 식을 정리하면$$2a_n + a_{n+1} = 3 \times \boxed{\text{ (가) }} \quad \quad \cdots \cdots ㉠$$이다.$$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = \frac{2}{3} a_n + \frac{1}{6} n^2 - \frac{1}{6} n + 10 \quad (n \ge 2)$$에서 양변에 $n = 2$ 를 대입하면$$a_2 = \boxed{\text{ (나) }} \quad \quad \cdots \cdots ㉡$$이다. ㉠과 ㉡에 의하여 $$\begin{aligned}\displaystyle \sum_{k=1}^{12} a_k + \sum_{k=1}^5 a_{2k+1} &= a_1 + a_2 + \sum_{k=1}^5 (2a_{2k+1} + a_{2k+2})  \\[8pt] &=\boxed{\text{ (다) }}\end{aligned}$$ 이다.

 

위의 (가)에 알맞은 식을 $f(n)$이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, \;q$라 할 때, $\dfrac{p \times q}{f(12)}$ 의 값을 구하시오. 

 

정답 $130$