그림과 같이 초점이 $\mathrm{F}(p, 0)$ ($p > 0$)이고 준선이 $x = -p$인 포물선 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{A}$에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하고, 두 초점이 $x$축 위에 있고 세 점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{H}$를 지나는 타원의 $x$좌표가 양수인 초점을 $\mathrm{B}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{AHB}$의 둘레의 길이가 $p + 27$, 넓이가 $2p + 12$일 때, 선분 $\mathrm{HF}$의 길이를 $k$라 하자. $k^{2}$의 값을 구하시오.
