내분점&두 점 사이의 거리& 직선의 방정식_난이도 중 (2025년 10월 고1 20번)

 

 

$0$이 아닌 실수 $a$에 대하여 좌표평면 위의 서로 다른 세 점  $\mathrm{A}(2a,\; 0)$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$가 다음 조건을 만족시킨다.

 

◦ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심의 좌표는 $(0, \;2)$이다.  
◦ $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}}$  

 

다음은 $\overline{\mathrm{BC}} = 2\sqrt{a^2 + 1}$일 때, 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표와 $y$좌표의 합을 구하는 과정이다.  
(단, 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표보다 크다.)   

 

선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}(b, \; c)$, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심을 $\mathrm{G}$라고 하면 $\mathrm{G}(0, \;2)$는 선분 $\mathrm{AM}$을 $2:1$로 내분하는 점이므로 $b = -a$, $c = \boxed{\text{ (가) }}$이다.

$\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}}$이고 직선 $\mathrm{AM}$의 기울기가 $-\dfrac{1}{a}$이므로 직선 $\mathrm{BC}$의 방정식은 $$y = \boxed{\text{ (나) }} \times \{x -(- a)\} + \boxed{\text{ (가) }}$$ 이다.  
점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 $k$라 하면 점 $\mathrm{B}$의 $y$좌표는 $\boxed{\text{ (나) }} \times (k + a) + \boxed{\text{ (가) }}$이다.  
$\overline{\mathrm{BM}} = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{BC}}$이고 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표가 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표보다 크므로 $k = \boxed{\text{ (다) }}$이다.  
따라서 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표와 $y$좌표의 합은 $\boxed{\text{ (라) }}$이다.  

 

위의 (가), (라)에 알맞은 수를 각각 $p, \;q$라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(a), \;g(a)$라 할 때, $f(p) \times g(q)$의 값은? 

① $-10$          ② $-\dfrac{19}{2}$          ③ $-9$          ④ $-\dfrac{17}{2}$          ⑤ $-8$

 

정답 ③