내적의 기하학적 의미_난이도 중상 (2025년 10월 고3 기하 30번)

 

 

좌표평면에 한 변의 길이가 9인 정사각형 $ABCD$와 $\overrightarrow{\mathrm{AE}} = \overrightarrow{\mathrm{AD}} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$를 만족시키는 점 $\mathrm{E}$가 있다. 선분 $\mathrm{BC}$를 지름으로 하는 원 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$에 대하여 점 $\mathrm{Q}$가 다음 조건을 만족시킨다.

 

$\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} \ge 0$이면 $\overrightarrow{\mathrm{BQ}} + \overrightarrow{\mathrm{CQ}} = 7\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$이고,

$\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} < 0$이면 $\overrightarrow{\mathrm{BQ}} + \overrightarrow{\mathrm{CQ}} = 6\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$이다.

 

 

 $\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, m$이라 할 때, $(M + m)^2$의 값을 구하시오.

 

정답 $320$