두 양수 $a, \;b$에 대하여 좌표평면 위에 두 점 $\mathrm{A} \left (a,\; 3^a+b \right )$, $\mathrm{B}\left (a+3, \;3^{a+3}+b \right )$가 있다. 직선 $y=x$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}}$의 최솟값은 $55$이다. 곡선 $y=\log_{3}(x-a-b)$ 위의 점 $\mathrm{C}$에 대하여 점 $\mathrm{C}$의 $y$좌표가 $a+3$이고 $\overline{\mathrm{AC}}=a+55$일 때, $a+b$의 값은?
① $\log_{3} 6$ ② $\log_{3} 12$ ③ $\log_{3} 18$ ④ $\log_{3} 24$ ⑤ $\log_{3} 30$
